Valores de tensão e as correspondentes correntes foram tabulados para dois elementos de circuito. Faça os cálculos que se pedem:
Elemento #1
Tensão(V) Corrente (A)
-4 -2
-3 -3
0 0
12 2
32 4
60 6
Elemento #2
:—: :—:
Tensão(V) Corrente (A)
-80 -5
-32 -2
0 0
48 3
96 6
Determine se os elementos de circuito são lineares a partir da respectiva equação de i em função de v para o Elemento #1 e equação de v em função de i para o Elemento #2. Faça as provas dos princípios da superposição e da homogeneidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se dois elementos de circuito são lineares. Isso quer dizer que a relação entre tensão (V) e corrente (I) segue uma equação linear. Para isso, vamos analisar os dados fornecidos para cada elemento e derivar as equações que relacionam V e I. Também vamos testar os princípios da superposição e da homogeneidade para comprovar a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no Elemento #1. Temos uma tabela com valores de tensão e corrente:
Tensão (V) Corrente (A)
-4 -2
-3 -3
0 0
12 2
32 4
60 6
Nosso objetivo é encontrar uma relação linear entre I e V, ou seja, uma equação da forma:
i = k cdot v
onde $ k $ é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Vamos calcular o valor de $ k $ usando alguns pares de valores de V e I.
Por exemplo, usando V = 12 V e I = 2 A:
k
Agora, vamos verificar se essa constante vale para os outros pontos.
  • Para V = -4 V e I = -2 A:
k = iv = 212 = 16
  • Para V = -3 V e I = -3 A:
-2-4 = 12 neq 16
  • Para V = 32 V e I = 4 A:
-3-3 = 1 neq 16
  • Para V = 60 V e I = 6 A:
432 = 18 neq 16
Vemos que o valor de $ k $ não é constante. Isso significa que a relação entre I e V não é linear para o Elemento #1.

Passo 4

Agora, vamos analisar o Elemento #2 com a seguinte tabela:
Tensão (V) Corrente (A)
-80 -5
-32 -2
0 0
48 3
96 6
Vamos tentar encontrar uma relação linear da forma:
v = m cdot i
onde $ m $ é a constante de proporcionalidade.

Passo 5

Calculando $ m $ com alguns pares de valores:
Usando I = 3 A e V = 48 V:
m
Verificando os outros pontos:
  • Para I = -5 A e V = -80 V:
m = vi = 483 = 16
  • Para I = -2 A e V = -32 V:
-80-5 = 16
  • Para I = 6 A e V = 96 V:
-32-2 = 16
Todos os pontos confirmam que $ m = 16 $. Isso indica que a relação entre V e I para o Elemento #2 é linear e dada por:
966 = 16

Passo 6

Agora que identificamos as relações, vamos testar os princípios da superposição e da homogeneidade para confirmar a linearidade.
Princípio da Superposição: Em sistemas lineares, a resposta a múltiplas fontes é igual à soma das respostas individuais a cada fonte.
Como o Elemento #1 não é linear, não podemos aplicar a superposição. Já para o Elemento #2, como a relação é linear, a superposição vale.
Princípio da Homogeneidade: Em sistemas lineares, se a entrada é multiplicada por um escalar, a saída também é multiplicada pelo mesmo escalar.
Para o Elemento #2, se multiplicarmos a corrente $ i $ por um escalar $ a $:
i
Isso confirma que a homogeneidade é satisfeita.

Resposta

O Elemento #1 não é linear, pois a relação entre tensão e corrente não segue uma equação linear consistente. Já o Elemento #2 é linear, com a equação $ v = 16 \cdot i $, e satisfaz os princípios da superposição e da homogeneidade.

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