Quando uma válvula é subitamente fechada em um tubo em que escoa água, uma onda de pressão se desenvolve (martelo hidráulico ou golpe de aríete). As elevadas pressões geradas por essas ondas podem danificar o tubo. A pressão máxima,
, gerada pelo martelo hidráulico é uma função da massa específica do líquido,
, da velocidade inicial do escoamento,
, e do módulo de compressibilidade do líquido,
. Quantos grupos adimensionais são necessários para caracterizar o martelo hidráulico? Determine a relação funcional entre as variáveis em termos dos grupos
necessários.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação onde, ao fechar uma válvula de repente em um tubo com água fluindo, surge uma onda de pressão chamada de martelo hidráulico ou golpe de aríete. A pressão máxima,
, gerada por esse fenômeno, depende de três variáveis: a massa específica da água (
), a velocidade inicial do escoamento (
) e o módulo de compressibilidade do líquido (
), onde
.
Vamos precisar utilizar a análise dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham Pi, para descobrir quantos grupos adimensionais precisamos para caracterizar o martelo hidráulico e determinar a relação funcional entre essas variáveis.
Passo 2
Vamos listar todas as variáveis que influenciam a pressão máxima (
):
-
– pressão máxima (unidade: ) -
– massa específica (unidade: ) -
– velocidade inicial (unidade: ) -
– módulo de compressibilidade (unidade: , já que , onde é a velocidade do som no líquido)
Passo 3
Agora, vamos identificar as dimensões básicas dessas variáveis, em termos de Massa (
), Comprimento (
) e Tempo (
):
-
: -
: -
: -
:
Passo 4
Para aplicar o Teorema de Buckingham Pi, precisamos determinar o número de grupos dimensionais (
) necessários. Segundo o teorema, o número de grupos é igual ao número de variáveis menos o número de dimensões fundamentais. Aqui, temos 4 variáveis e 3 dimensões fundamentais (M, L, T):
Número de grupos
Mas precisamos verificar se isso está correto.
Passo 5
Na verdade, há um equívoco aqui. Mesmo que o número de grupos adimensionais seja
, onde
é o número de variáveis e
é o número de dimensões, devemos verificar a independência das variáveis. Observando as dimensões das variáveis, vemos que o módulo de compressibilidade
tem as mesmas dimensões que a pressão
:
Isso indica que uma das variáveis pode ser expressa em termos das outras, portanto, reduzindo o número de grupos adimensionais.
Passo 6
Assim, ao considerar essa dependência, o número de grupos dimensionais necessários é na verdade 2:
Número de grupos
Estes dois grupos permitem expressar a relação entre as variáveis de forma adimensional.
Passo 7
Agora, vamos determinar esses grupos
. Podemos escolher como base duas das variáveis com dimensões independentes. Vamos escolher
,
e
. Vamos formar os grupos com essas variáveis.
Um dos grupos pode ser simplesmente a relação entre a pressão máxima e o módulo de compressibilidade:
Outro grupo pode relacionar a velocidade inicial e a raiz do módulo de compressibilidade dividido pela massa específica:
Isso porque
tem dimensões de velocidade.
Resposta
Para caracterizar o martelo hidráulico, são necessários 2 grupos adimensionais, dados por:
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, usada por um aspirador de pó deve ser correlacionada com a quantidade de sucção fornecida (indicada pela queda de pressão,
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, e de sua largura,
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, e
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,
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e
.
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.
(b) Amônia a