A potência, , usada por um aspirador de pó deve ser correlacionada com a quantidade de sucção fornecida (indicada pela queda de pressão, , abaixo da pressão ambiente). Ela também depende do diâmetro da hélice, , e de sua largura, , da velocidade de rotação do motor, , da massa específica do ar, , e das larguras da entrada e da saída do aspirador, , e , respectivamente. Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a potência usada por um aspirador de pó. O enunciado fala que essa potência, que a gente chama de , está ligada à quantidade de sucção que o aspirador fornece, representada pela queda de pressão . Além disso, a potência também depende do diâmetro da hélice , da largura da hélice , da velocidade de rotação do motor , da massa específica do ar , e das larguras da entrada e da saída do aspirador. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Para isso, vamos precisar usar a teoria de dimensões e o Teorema de Buckingham Pi.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis que estão envolvidas no problema e suas respectivas dimensões:
  • (Potência):
  • (Queda de pressão):
  • (Diâmetro da hélice):
  • (Largura da hélice):
  • (Velocidade de rotação):
  • (Massa específica do ar):
  • (Largura da entrada):
  • (Largura da saída):

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a transformar uma equação dimensionalmente consistente em uma forma adimensional. Primeiro, precisamos identificar quantas variáveis temos e quantas dimensões básicas estão envolvidas. Aqui, temos 8 variáveis e 3 dimensões básicas: massa ( ), comprimento ( ) e tempo ( ).
O número de grupos adimensionais será igual a 8 (variáveis) menos 3 (dimensões), ou seja, 5 grupos.

Passo 4

Escolhemos como variáveis repetidas aquelas que cobrem todas as dimensões básicas. Vamos escolher , e como nossas variáveis repetidas.
Agora, para cada uma das outras variáveis, vamos formar um grupo adimensional ( ) combinando-as com as variáveis repetidas.

Passo 5

Vamos formar os grupos adimensionais:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :

Resposta

Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são:

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