A potência,
, usada por um aspirador de pó deve ser correlacionada com a quantidade de sucção fornecida (indicada pela queda de pressão,
, abaixo da pressão ambiente). Ela também depende do diâmetro da hélice,
, e de sua largura,
, da velocidade de rotação do motor,
, da massa específica do ar,
, e das larguras da entrada e da saída do aspirador,
, e
, respectivamente. Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a potência usada por um aspirador de pó. O enunciado fala que essa potência, que a gente chama de
, está ligada à quantidade de sucção que o aspirador fornece, representada pela queda de pressão
. Além disso, a potência também depende do diâmetro da hélice
, da largura da hélice
, da velocidade de rotação do motor
, da massa específica do ar
, e das larguras da entrada
e da saída
do aspirador. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Para isso, vamos precisar usar a teoria de dimensões e o Teorema de Buckingham Pi.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as variáveis que estão envolvidas no problema e suas respectivas dimensões:
-
(Potência): -
(Queda de pressão): -
(Diâmetro da hélice): -
(Largura da hélice): -
(Velocidade de rotação): -
(Massa específica do ar): -
(Largura da entrada): -
(Largura da saída):
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a transformar uma equação dimensionalmente consistente em uma forma adimensional. Primeiro, precisamos identificar quantas variáveis temos e quantas dimensões básicas estão envolvidas. Aqui, temos 8 variáveis e 3 dimensões básicas: massa (
), comprimento (
) e tempo (
).
O número de grupos adimensionais será igual a 8 (variáveis) menos 3 (dimensões), ou seja, 5 grupos.
Passo 4
Escolhemos como variáveis repetidas aquelas que cobrem todas as dimensões básicas. Vamos escolher
,
e
como nossas variáveis repetidas.
Agora, para cada uma das outras variáveis, vamos formar um grupo adimensional (
) combinando-as com as variáveis repetidas.
Passo 5
Vamos formar os grupos adimensionais:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são: