A potência, mathscrP, usada por um aspirador de pó deve ser correlacionada com a quantidade de sucção fornecida (indicada pela queda de pressão, De, abaixo da pressão ambiente). Ela também depende do diâmetro da hélice, D, e de sua largura, d, da velocidade de rotação do motor, omega, da massa específica do ar, rho, e das larguras da entrada e da saída do aspirador, de, e ds, respectivamente. Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a potência usada por um aspirador de pó. O enunciado fala que essa potência, que a gente chama de mathscrP, está ligada à quantidade de sucção que o aspirador fornece, representada pela queda de pressão De. Além disso, a potência também depende do diâmetro da hélice D, da largura da hélice d, da velocidade de rotação do motor omega, da massa específica do ar rho, e das larguras da entrada de e da saída ds do aspirador. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os parâmetros adimensionais que caracterizam esse problema. Para isso, vamos precisar usar a teoria de dimensões e o Teorema de Buckingham Pi.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis que estão envolvidas no problema e suas respectivas dimensões:
  • mathscrP (Potência): [M L^2 T^-3]
  • De (Queda de pressão): [M L^-1 T^-2]
  • D (Diâmetro da hélice): [L]
  • d (Largura da hélice): [L]
  • omega (Velocidade de rotação): [T^-1]
  • rho (Massa específica do ar): [M L^-3]
  • de (Largura da entrada): [L]
  • ds (Largura da saída): [L]

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a transformar uma equação dimensionalmente consistente em uma forma adimensional. Primeiro, precisamos identificar quantas variáveis temos e quantas dimensões básicas estão envolvidas. Aqui, temos 8 variáveis e 3 dimensões básicas: massa ( M), comprimento ( L) e tempo ( T).
O número de grupos adimensionais será igual a 8 (variáveis) menos 3 (dimensões), ou seja, 5 grupos.

Passo 4

Escolhemos como variáveis repetidas aquelas que cobrem todas as dimensões básicas. Vamos escolher mathscrP, D e rho como nossas variáveis repetidas.
Agora, para cada uma das outras variáveis, vamos formar um grupo adimensional ( pi) combinando-as com as variáveis repetidas.

Passo 5

Vamos formar os grupos adimensionais:
  1. Para De:
    pi1 = De
  2. Para d:
    pi2 = dD
  3. Para de:
    pi3 = deD
  4. Para ds:
    pi4 = dsD
  5. Para mathscrP:
    pi5 = mathscrPrho omega^3 D^5

Resposta

Os parâmetros adimensionais que caracterizam o problema são:
pi1 = De

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