Vamos considerar uma partícula quântica em uma dimensão, de massa m, viajando livremente, ou seja, sem estar sob a ação de um potencial. Esse sistema tem energias quantizadas ou seu espectro é contínuo? Discuta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula quântica que está viajando livremente em uma dimensão, ou seja, sem sofrer a influência de nenhum potencial. O que a gente quer descobrir é se as energias dessa partícula são quantizadas (tem valores específicos) ou se formam um espectro contínuo (podendo assumir qualquer valor). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos da Mecânica Quântica, especificamente a Equação de Schrödinger para partículas livres.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula livre, o potencial $ V(x) = 0 $. A Equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão é dada por:
V(x) = 0
Onde:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ \psi(x) $ é a função de onda,
  • $ E $ é a energia da partícula.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0
Onde $ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $.
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cujas soluções são funções trigonométricas ou exponenciais complexas, conhecidas como ondas livres.

Passo 4

As soluções gerais são combinações lineares de funções exponenciais complexas:
psi(x) = A e^ikx + B e^-ikx
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a amplitude das ondas que se movem para a direita e para a esquerda, respectivamente.

Passo 5

Agora, observamos que $ k $ está relacionado à energia $ E $ da partícula. Como $ k $ pode assumir qualquer valor real, isso significa que $ E $ também pode variar continuamente, já que:
k
Não há restrições que limitem $ k $ a valores específicos; ele pode ser qualquer número real, positivo ou negativo.

Passo 6

Portanto, como a energia $ E $ depende do quadrado de $ k $ e $ k $ pode ser qualquer valor real, concluímos que as energias da partícula livre não são quantizadas. Em vez disso, elas podem assumir qualquer valor positivo, formando um espectro contínuo.

Resposta

O sistema de uma partícula quântica livre em uma dimensão possui um espectro de energias contínuo, ou seja, suas energias não são quantizadas.

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