Vamos considerar uma partícula quântica em uma dimensão, de massa m, viajando livremente, ou seja, sem estar sob a ação de um potencial. Esse sistema tem energias quantizadas ou seu espectro é contínuo? Discuta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula quântica que está viajando livremente em uma dimensão, ou seja, sem sofrer a influência de nenhum potencial. O que a gente quer descobrir é se as energias dessa partícula são quantizadas (tem valores específicos) ou se formam um espectro contínuo (podendo assumir qualquer valor). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos da Mecânica Quântica, especificamente a Equação de Schrödinger para partículas livres.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula livre, o potencial $ V(x) = 0 $. A Equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão é dada por:
Onde:
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ \psi(x) $ é a função de onda,
- $ E $ é a energia da partícula.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Onde $ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $.
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cujas soluções são funções trigonométricas ou exponenciais complexas, conhecidas como ondas livres.
Passo 4
As soluções gerais são combinações lineares de funções exponenciais complexas:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a amplitude das ondas que se movem para a direita e para a esquerda, respectivamente.
Passo 5
Agora, observamos que $ k $ está relacionado à energia $ E $ da partícula. Como $ k $ pode assumir qualquer valor real, isso significa que $ E $ também pode variar continuamente, já que:
Não há restrições que limitem $ k $ a valores específicos; ele pode ser qualquer número real, positivo ou negativo.
Passo 6
Portanto, como a energia $ E $ depende do quadrado de $ k $ e $ k $ pode ser qualquer valor real, concluímos que as energias da partícula livre não são quantizadas. Em vez disso, elas podem assumir qualquer valor positivo, formando um espectro contínuo.
Resposta
O sistema de uma partícula quântica livre em uma dimensão possui um espectro de energias contínuo, ou seja, suas energias não são quantizadas.