Vamos considerar uma partícula quântica em uma dimensão, de massa m, viajando livremente, ou seja, sem estar sob a ação de um potencial. Considere agora uma partícula quântica de massa
presa numa caixa de potencial unidimensional (
). Obtenha a(s) expressão(ões) para a número de onda, energia e constante de normalização. Discuta seus resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula quântica numa dimensão. Primeiro, temos a partícula viajando livremente, sem nenhuma força agindo sobre ela. Depois, a mesma partícula está presa numa “caixa” de potencial que vai de $ x = 0 $ até $ x = L $. Nosso objetivo é encontrar três coisas: o número de onda, a energia e a constante de normalização dessa partícula na caixa. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de mecânica quântica, como a equação de Schrödinger e condições de fronteira.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma caixa de potencial. Imagine que a partícula está confinada entre $ x = 0 $ e $ x = L $, e fora dessa região a energia potencial é infinita. Isso significa que a partícula não pode existir fora dessa “caixa”. Dentro da caixa, o potencial é zero. Essa configuração nos leva a resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula presa.
Passo 3
A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão é dada por:
Como dentro da caixa $ V(x) = 0 $, a equação simplifica para:
Passo 4
Vamos rearranjar essa equação para facilitar a resolução:
Definimos $ k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} $, então a equação fica:
Essa é uma equação diferencial harmônica, cuja solução geral é:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de fronteira. Sabemos que a função de onda deve ser zero nas bordas da caixa (porque a partícula não pode existir fora):
Para $ x = 0 $:
Então, $ B = 0 $, e a função de onda fica:
Passo 6
Para $ x = L $:
Como $ A \neq 0 $, para que isso seja satisfeito, $ \sin(kL) = 0 $. Isso acontece quando $ kL = n\pi $, onde $ n $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). Então:
Esse é o número de onda permitido na caixa.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a energia $ E $. Lembrando que $ k = \frac{n\pi}{L} $ e $ k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} $, substituímos:
Resolvendo para $ E $:
Essa é a expressão para a energia dos estados permitidos na caixa.
Passo 8
Por fim, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa que a probabilidade de encontrar a partícula em toda a caixa deve ser 1:
Substituindo $ \psi(x) = A \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) $:
Sabemos que:
Aplicando os limites:
Então, a constante de normalização é $ \sqrt{\frac{2}{L}} $.
Resposta
As expressões obtidas para uma partícula quântica presa numa caixa de potencial unidimensional são:
- Número de onda: $ k = \frac{n\pi}{L} $, onde $ n = 1, 2, 3, \dots $
- Energia: $ E = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2} $
- Constante de normalização: $ A = \sqrt{\frac{2}{L}} $
Esses resultados mostram que a energia da partícula é quantizada, ou seja, só pode assumir valores específicos dependendo do número inteiro $ n $. O número de onda $ k $ está diretamente relacionado ao comprimento da caixa $ L $ e ao modo $ n $ da função de onda. A constante de normalização garante que a função de onda esteja devidamente escalada para representar uma probabilidade total igual a 1 dentro da caixa.