Vamos considerar uma partícula quântica em uma dimensão, de massa m, viajando livremente, ou seja, sem estar sob a ação de um potencial. Considere agora uma partícula quântica de massa m presa numa caixa de potencial unidimensional ( 0 ). Obtenha a(s) expressão(ões) para a número de onda, energia e constante de normalização. Discuta seus resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula quântica numa dimensão. Primeiro, temos a partícula viajando livremente, sem nenhuma força agindo sobre ela. Depois, a mesma partícula está presa numa “caixa” de potencial que vai de $ x = 0 $ até $ x = L $. Nosso objetivo é encontrar três coisas: o número de onda, a energia e a constante de normalização dessa partícula na caixa. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de mecânica quântica, como a equação de Schrödinger e condições de fronteira.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma caixa de potencial. Imagine que a partícula está confinada entre $ x = 0 $ e $ x = L $, e fora dessa região a energia potencial é infinita. Isso significa que a partícula não pode existir fora dessa “caixa”. Dentro da caixa, o potencial é zero. Essa configuração nos leva a resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula presa.

Passo 3

A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão é dada por:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
Como dentro da caixa $ V(x) = 0 $, a equação simplifica para:
V(x) = 0

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação para facilitar a resolução:
d^2 psi(x)dx^2 + 2mEhbar^2 psi(x) = 0
Definimos $ k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} $, então a equação fica:
k^2 = 2mEhbar^2
Essa é uma equação diferencial harmônica, cuja solução geral é:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de fronteira. Sabemos que a função de onda deve ser zero nas bordas da caixa (porque a partícula não pode existir fora):
Para $ x = 0 $:
x = 0
Então, $ B = 0 $, e a função de onda fica:
psi(0) = A sin(0) + B cos(0) = B = 0

Passo 6

Para $ x = L $:
x = L
Como $ A \neq 0 $, para que isso seja satisfeito, $ \sin(kL) = 0 $. Isso acontece quando $ kL = n\pi $, onde $ n $ é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …). Então:
psi(L) = A sin(kL) = 0
Esse é o número de onda permitido na caixa.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a energia $ E $. Lembrando que $ k = \frac{n\pi}{L} $ e $ k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} $, substituímos:
E
Resolvendo para $ E $:
k = npiL
Essa é a expressão para a energia dos estados permitidos na caixa.

Passo 8

Por fim, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa que a probabilidade de encontrar a partícula em toda a caixa deve ser 1:
integral0^L |psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo $ \psi(x) = A \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) $:
psi(x) = A sin( npi xL )
Sabemos que:
A^2 integral0^L sin^2( npi xL ) dx = 1
Aplicando os limites:
integral sin^2(ax) dx = x2 - sin(2ax)4a
Então, a constante de normalização é $ \sqrt{\frac{2}{L}} $.

Resposta

As expressões obtidas para uma partícula quântica presa numa caixa de potencial unidimensional são:
  • Número de onda: $ k = \frac{n\pi}{L} $, onde $ n = 1, 2, 3, \dots $
  • Energia: $ E = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m L^2} $
  • Constante de normalização: $ A = \sqrt{\frac{2}{L}} $
Esses resultados mostram que a energia da partícula é quantizada, ou seja, só pode assumir valores específicos dependendo do número inteiro $ n $. O número de onda $ k $ está diretamente relacionado ao comprimento da caixa $ L $ e ao modo $ n $ da função de onda. A constante de normalização garante que a função de onda esteja devidamente escalada para representar uma probabilidade total igual a 1 dentro da caixa.

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