Um vaqueiro amarra no poste de uma cerca a extremidade de uma corda de 12,0 m de comprimento, de modo que a corda fique esticada horizontalmente, submetida a uma tensão de 160 N. A massa da corda é igual a 0,600 kg. Ele faz a extremidade da corda oscilar para cima e para baixo com frequência de 12,0 Hz, gerando onda harmônica de amplitude igual a 18,0 cm.
c) Escreva a expressão da função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo nessa questão. Temos um vaqueiro que amarrou uma corda de 12 metros horizontalmente a um poste, com uma tensão de 160 N. A corda tem uma massa de 0,600 kg. O vaqueiro faz a extremidade da corda oscilar para cima e para baixo com uma frequência de 12 Hz, criando uma onda harmônica com amplitude de 18 cm. O que precisamos fazer aqui é escrever a expressão matemática que representa essa onda, ou seja, a função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica pode ser descrita por uma função senoidal. A forma geral dessa função é:
y(x, t) = A cdot sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • é a amplitude da onda.
  • é o número de onda.
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial.

Passo 3

Vamos identificar cada um desses parâmetros com os valores dados no problema.
Amplitude ( A = 0,18 , m ): A amplitude é a máxima deslocação da onda em relação à posição de equilíbrio. No caso, é de 18 cm, que em metros fica:
k = 2pilambda
Frequência ( v = raizTmu ): A frequência das oscilações é de 12 Hz.
Número de onda ( mu = mL = 0,600 , kg12,0 , m = 0,05 , kg/m ): O número de onda está relacionado ao comprimento de onda ( v = raiz1600,05 = raiz3200 approx 56,57 , m/s ) pela fórmula:
Mas para encontrar , precisamos saber a velocidade da onda na corda.
Velocidade da onda ( ): A velocidade da onda em uma corda é dada por:
Onde é a tensão e é a massa por unidade de comprimento. Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora que temos a velocidade, podemos encontrar o comprimento de onda ( v = f cdot lambda ) usando a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
lambda = vf = 56,5712 approx 4,714 , m
k = 2pilambda = 2pi4,714 approx 1,333 , rad/m
Agora, calculamos o número de onda ( omega = 2pi f = 2pi cdot 12 approx 75,398 , rad/s ):
Frequência angular ( ): Está relacionada à frequência por:
Fase inicial ( ): Se não for especificada, geralmente assumimos que é zero.

Passo 5

Com todos os parâmetros calculados, podemos montar a expressão da função de onda:
y(x, t) = 0,18 cdot sin(1,333x - 75,398t)

Resposta

A função de onda é dada por:
y(x, t) = 0,18 cdot sin(1,333,x - 75,398,t)

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