Um vaqueiro amarra no poste de uma cerca a extremidade de uma corda de de comprimento, de modo que a corda fique esticada horizontalmente, submetida a uma tensão de 160 N. A massa da corda é igual a . Ele faz a extremidade da corda oscilar para cima e para baixo com frequência de , gerando onda harmônica de amplitude igual a .
c) Escreva a expressão da função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo nessa questão. Temos um vaqueiro que amarrou uma corda de 12 metros horizontalmente a um poste, com uma tensão de 160 N. A corda tem uma massa de 0,600 kg. O vaqueiro faz a extremidade da corda oscilar para cima e para baixo com uma frequência de 12 Hz, criando uma onda harmônica com amplitude de 18 cm. O que precisamos fazer aqui é escrever a expressão matemática que representa essa onda, ou seja, a função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda harmônica pode ser descrita por uma função senoidal. A forma geral dessa função é:
Onde:
  • é a amplitude da onda.
  • é o número de onda.
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial.

Passo 3

Vamos identificar cada um desses parâmetros com os valores dados no problema.
Amplitude ( ): A amplitude é a máxima deslocação da onda em relação à posição de equilíbrio. No caso, é de 18 cm, que em metros fica:
Frequência ( ): A frequência das oscilações é de 12 Hz.
Número de onda ( ): O número de onda está relacionado ao comprimento de onda ( ) pela fórmula:
Mas para encontrar , precisamos saber a velocidade da onda na corda.
Velocidade da onda ( ): A velocidade da onda em uma corda é dada por:
Onde é a tensão e é a massa por unidade de comprimento. Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora que temos a velocidade, podemos encontrar o comprimento de onda ( ) usando a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Agora, calculamos o número de onda ( ):
Frequência angular ( ): Está relacionada à frequência por:
Fase inicial ( ): Se não for especificada, geralmente assumimos que é zero.

Passo 5

Com todos os parâmetros calculados, podemos montar a expressão da função de onda:

Resposta

A função de onda é dada por:

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Um vaqueiro amarra no poste de uma cerca a extremidade de uma corda de de comprimento, de modo que a corda fique esticada horizontalmente, submetida a uma tensão de 160 N. A massa da corda é igual a . Ele faz a extremidade da corda oscilar para cima e para baixo com frequência de , gerando onda harmônica de amplitude igual a .
e) Ele estica mais a corda, de modo que a tensão dobra para 320 N . Com que frequência ele deve oscilar a extremidade da corda para produzir uma onda que propaga a mesma potência média?
Um vaqueiro amarra no poste de uma cerca a extremidade de uma corda de de comprimento, de modo que a corda fique esticada horizontalmente, submetida a uma tensão de 160 N. A massa da corda é igual a . Ele faz a extremidade da corda oscilar para cima e para baixo com frequência de , gerando onda harmônica de amplitude igual a .
a) Qual é a velocidade de uma onda transversal na corda?