Um vaqueiro amarra no poste de uma cerca a extremidade de uma corda de 12,0 m de comprimento, de modo que a corda fique esticada horizontalmente, submetida a uma tensão de 160 N. A massa da corda é igual a 0,600 kg. Ele faz a extremidade da corda oscilar para cima e para baixo com frequência de 12,0 Hz, gerando onda harmônica de amplitude igual a 18,0 cm.
e) Ele estica mais a corda, de modo que a tensão dobra para 320 N . Com que frequência ele deve oscilar a extremidade da corda para produzir uma onda que propaga a mesma potência média?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma corda com certo comprimento, tensão e massa que está sendo oscilada para gerar ondas harmônicas. A gente precisa descobrir com qual frequência o vaqueiro deve continuar oscilando a corda quando a tensão dobra, para que a potência média das ondas permaneça a mesma. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre ondas em cordas, como velocidade da onda e potência das ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa por unidade de comprimento da corda, que é chamada de mu. Isso é importante porque influencia na velocidade da onda na corda.
A massa por unidade de comprimento é dada por:
mu = mL
Onde:
  • m = 0,600,kg (massa da corda)
  • L = 12,0,m (comprimento da corda)
Então:
mu = 0,600,kg12,0,m = 0,050,kg/m

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade da onda na corda usando a fórmula:
v = raizTmu
Onde:
  • T é a tensão na corda
  • mu é a massa por unidade de comprimento que acabamos de calcular
Primeiro, com a tensão inicial de 160,N:
v1 = raiz160,N0,050,kg/m = raiz3200,m^2/s^2 approx 56,57,m/s
Quando a tensão dobra para 320,N:
v2 = raiz320,N0,050,kg/m = raiz6400,m^2/s^2 approx 80,00,m/s

Passo 4

A potência média das ondas na corda é dada por:
P = 12 mu omega^2 A^2 v
Onde:
  • mu é a massa por unidade de comprimento
  • omega é a frequência angular (ela está relacionada à frequência f por omega = 2pi f)
  • A é a amplitude da onda
  • v é a velocidade da onda
Queremos que a potência inicial ( P1) seja igual à potência final ( P2). Vamos escrever isso:
P1 = P2
Substituindo as fórmulas:
12 mu omega1^2 A^2 v1 = 12 mu omega2^2 A^2 v2
Podemos simplificar cancelando os termos iguais dos dois lados:
omega1^2 v1 = omega2^2 v2

Passo 5

Agora, precisamos resolver para a nova frequência f2. Lembrando que omega = 2pi f, temos:
(2pi f1)^2 v1 = (2pi f2)^2 v2
Simplificando:
f1^2 v1 = f2^2 v2
Isolando f2:
f2 = f1 raizv1v2
Sabemos que:
  • f1 = 12,0,Hz
  • v1 approx 56,57,m/s
  • v2 approx 80,00,m/s
Substituindo:
f2 = 12,0,Hz times raiz56,5780,00 approx 12,0 times raiz0,7071 approx 12,0 times 0,841 approx 10,09,Hz

Resposta

O vaqueiro deve oscilar a extremidade da corda com uma frequência de aproximadamente 10,1 Hz para manter a mesma potência média das ondas.

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