Numa fita de som, há um defeito em cada 200pés. Qual a probabilidade de que:
Em 800 pés ocorram pelo menos 3 defeitos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que numa fita de som tem um defeito a cada 200 pés. Nosso objetivo é descobrir qual a chance de, em 800 pés dessa fita, terem pelo menos 3 defeitos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos raros que acontecem em um intervalo fixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a taxa média de defeitos esperada em 800 pés. Sabemos que há 1 defeito a cada 200 pés, então em 800 pés:
lambda = 800 pés200 pés/defeito = 4 defeitos éé
Então, nossa taxa média lambda é 4 defeitos.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson. A probabilidade de ocorrer exatamente k defeitos é dada por:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828),
  • lambda é a taxa média (nossa 4 defeitos),
  • k! é o fatorial de k.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de pelo menos 3 defeitos, ou seja, P(X >= 3). Para facilitar, vamos calcular primeiro a probabilidade de terem no máximo 2 defeitos ( P(X <= 2)) e depois subtrair isso de 1:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)
Vamos calcular P(X = 0), P(X = 1) e P(X = 2):
P(X = 0) = e^-4 cdot 4^00! = e^-4 approx 0,0183
P(X = 1) = e^-4 cdot 4^11! = 4e^-4 approx 0,0733
P(X = 2) = e^-4 cdot 4^22! = 16e^-42 = 8e^-4 approx 0,1465
Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 = 0,2381

Passo 5

Finalmente, calculamos a probabilidade de ter pelo menos 3 defeitos:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) = 1 - 0,2381 = 0,7619

Resposta

A probabilidade de que, em 800 pés, ocorram pelo menos 3 defeitos é aproximadamente 76,2%.

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