Em uma variedade de espectrômetro de massa, partículas de carga q e massa m são inicialmente aceleradas por uma diferença de potencial V e depois entram em uma região de campo magnético uniforme de intensidade B e direção perpendicular à velocidade. Pela ação da força magnética, elas descrevem uma trajetória circular até atingir um anteparo, onde o raio R da trajetória é determinado. Considere um feixe formado por uma mistura de íons ^12 C^+ e^14 C^+. Determine a razão entre os raios de suas trajetórias na região de campo magnético.

Passo 1

Então, temos um exercício de espectrometria de massa! Nele, partículas carregadas com carga e massa são aceleradas por uma diferença de potencial e depois entram em uma região com campo magnético perpendicular à sua velocidade. Essas partículas seguem trajetórias circulares até atingirem um anteparo, e precisamos encontrar a razão entre os raios dessas trajetórias para duas espécies de íons: e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a diferença de potencial qV = 12mv^2 acelera as partículas. Quando uma partícula com carga passa por uma diferença de potencial , ela ganha energia cinética igual a . Matematicamente, isso é:
Aqui, é a velocidade da partícula após ser acelerada.

Passo 3

Vamos isolar a velocidade v = raiz2qVm nessa equação para encontrar uma expressão em termos de , e :

Passo 4

Agora, quando a partícula entra na região do campo magnético F = qvB , ela sofre uma força magnética que a faz se mover em uma trajetória circular. A força magnética F = mv^2R é dada por:
Essa força fornece a força centrípeta necessária para a movimentação circular, que é:
onde é o raio da trajetória.

Passo 5

Igualando as duas expressões para a força:
qvB = mv^2R
Podemos simplificar essa equação cancelando um qB = mvR dos dois lados:
R = mvqB
Isolando :

Passo 6

Substituímos a expressão da velocidade R = m raiz2qVmqB = raiz2m q VqB = raiz2mVB raizq que encontramos no Passo 3:
Mas para simplificar, podemos manter .

Passo 7

Agora, queremos a razão entre os raios das trajetórias dos íons R12R14 = m12v12qBm14v14qB = m12v12m14v14 e v12 = raiz2qVm12 e v14 = raiz2qVm14 . Chamemos e esses raios. Então:
Como ambos os íons foram acelerados pela mesma diferença de potencial , suas velocidades são:

Passo 8

Substituindo as velocidades na razão dos raios:
R12R14 = m12 raiz2qVm12m14 raiz2qVm14 = raizm12raizm14 cdot m12m14 = m12m14

Resposta

A razão entre os raios das trajetórias dos íons e é .

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