Um veiculo segue por uma estrada retilinea onde sua posição em funçâo do tempo é dada por: x(t)=a t^2-beta t^3, onde alpha=3,4 m / s^2 e beta=0,2 m / s^2.
Determine o tempo gasto para o veiculo parar totalmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de movimento retilíneo onde a posição do veículo em função do tempo é dada por . Os valores de e são 3,4 m/s² e 0,2 m/s², respectivamente. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o veículo leva para parar totalmente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e determinar quando ela se torna zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = dxdt = ddt(a t^2 - beta t^3) para encontrar a expressão da velocidade .

Passo 3

Calculando a derivada, temos:
v(t) = 2 a t - 3 beta t^2
Isso significa que a velocidade do veículo depende do tempo e é dada por essa equação quadrática.

Passo 4

Queremos saber quando o veículo para, ou seja, quando a velocidade é igual a zero. Então, vamos igualar 0 = 2 a t - 3 beta t^2 a zero e resolver para :

Passo 5

Podemos fatorar 0 = t (2 a - 3 beta t) da equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis: ou .

Passo 6

Desconsideramos 2 a - 3 beta t = 0 porque isso representa o tempo inicial. Então, resolvemos para a outra solução:
2 a = 3 beta t
t = 2 a3 beta

Passo 7

Substituímos os valores de t = 2 times 3,43 times 0,2 e t = 6,80,6 :
t approx 11,33 , segundos

Resposta

O veículo para totalmente após aproximadamente 11,33 segundos.

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