Uma particula se movendo em movimento retilineo é sujeita a aceleraçâo a(t)= a t^2+b t. Se no instante t=0 s a particula está na origem com velocidade v0, determine a velocidade e a posição da particula em função do tempo.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula se movendo em linha reta com uma aceleração que depende do tempo, dada por . No início, ou seja, quando segundos, a partícula está na origem ( ) e já tem uma velocidade inicial . Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade e a posição dessa partícula mudam com o tempo.
Vamos precisar usar uns conceitos básicos de cinemática: basicamente, como a aceleração se relaciona com a velocidade e como a velocidade se relaciona com a posição. Para isso, vamos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade em função do tempo. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt
Para achar , a gente vai integrar em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a aceleração:
v(t) = integral a(t) , dt = integral (a t^2 + b t) , dt
Fazendo a integral termo a termo, ficamos com:
v(t) = a3 t^3 + b2 t^2 + C1
Aqui, é a constante de integração que a gente precisa descobrir.

Passo 4

Para achar v(0) = a3 (0)^3 + b2 (0)^2 + C1 = v0 , usamos a condição inicial que nos foi dada: quando , . Substituindo na equação da velocidade:
Então, fica claro que .

Passo 5

Agora, substituindo v(t) = a3 t^3 + b2 t^2 + v0 na equação da velocidade, temos:

Passo 6

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição da partícula em função do tempo. Sabemos que a posição x(t) = integral v(t) , dt é a integral da velocidade:
x(t) = integral ( a3 t^3 + b2 t^2 + v0 ) dt
Substituindo :

Passo 7

Integrando cada termo separadamente:
x(t) = a12 t^4 + b6 t^3 + v0 t + C2
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 8

Usando a condição inicial de que x(0) = a12 (0)^4 + b6 (0)^3 + v0 (0) + C2 = 0 :
Daí, .

Passo 9

Finalizando, a posição em função do tempo fica:
x(t) = a12 t^4 + b6 t^3 + v0 t

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é e a posição em função do tempo é .

Exercícios relacionados

Um veiculo segue por uma estrada retilinea onde sua posição em funçâo do tempo é dada por: x(t)=a t^2-beta t^3, onde alpha=3,4 m / s^2 e beta=0,2 m / s^2.
Calcule a velocidade instantinea pura t=5 s e t=10 s.
Um veiculo segue por uma estrada retilinea onde sua posição em funçâo do tempo é dada por: x(t)=a t^2-beta t^3, onde alpha=3,4 m / s^2 e beta=0,2 m / s^2.
Calcule a velocidade média do veiculo entre os instantes t=0 e t=5 s.
Um veiculo segue por uma estrada retilinea onde sua posição em funçâo do tempo é dada por: x(t)=a t^2-beta t^3, onde alpha=3,4 m / s^2 e beta=0,2 m / s^2.
Determine o tempo gasto para o veiculo parar totalmente.
Um corpo com massa de 5 kg é lançado sobre um plano horizontal liso, com velocidade de 40 m / s. Determine o módulo da intensidade da força que deve ser aplicada sobre o corpo contra o sentido do movimento, para pará-lo em 20 s .