Uma particula se movendo em movimento retilineo é sujeita a aceleraçâo
. Se no instante
a particula está na origem com velocidade
, determine a velocidade e a posição da particula em função do tempo.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula se movendo em linha reta com uma aceleração que depende do tempo, dada por
. No início, ou seja, quando
segundos, a partícula está na origem (
) e já tem uma velocidade inicial
. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade e a posição dessa partícula mudam com o tempo.
Vamos precisar usar uns conceitos básicos de cinemática: basicamente, como a aceleração se relaciona com a velocidade e como a velocidade se relaciona com a posição. Para isso, vamos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade em função do tempo. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para achar
, a gente vai integrar
em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a aceleração:
Fazendo a integral termo a termo, ficamos com:
Aqui,
é a constante de integração que a gente precisa descobrir.
Passo 4
Para achar
, usamos a condição inicial que nos foi dada: quando
,
. Substituindo na equação da velocidade:
Então, fica claro que
.
Passo 5
Agora, substituindo
na equação da velocidade, temos:
Passo 6
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a posição da partícula em função do tempo. Sabemos que a posição
é a integral da velocidade:
Substituindo
:
Passo 7
Integrando cada termo separadamente:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 8
Usando a condição inicial de que
:
Daí,
.
Passo 9
Finalizando, a posição em função do tempo fica:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é
e a posição em função do tempo é
.
Exercícios relacionados
Um veiculo segue por uma estrada retilinea onde sua posição em funçâo do tempo é dada por:
, onde
e
.
Calcule a velocidade instantinea pura e
.
Calcule a velocidade instantinea pura
Um veiculo segue por uma estrada retilinea onde sua posição em funçâo do tempo é dada por:
, onde
e
.
Calcule a velocidade média do veiculo entre os instantes e
.
Calcule a velocidade média do veiculo entre os instantes
Um veiculo segue por uma estrada retilinea onde sua posição em funçâo do tempo é dada por:
, onde
e
.
Determine o tempo gasto para o veiculo parar totalmente.
Determine o tempo gasto para o veiculo parar totalmente.
Um corpo com massa de 5 kg é lançado sobre um plano horizontal liso, com velocidade de
. Determine o módulo da intensidade da força que deve ser aplicada sobre o corpo contra o sentido do movimento, para pará-lo em 20 s .