Um veiculo segue por uma estrada retilinea onde sua posição em funçâo do tempo é dada por: x(t)=a t^2-beta t^3, onde alpha=3,4 m / s^2 e beta=0,2 m / s^2.
Calcule a velocidade instantinea pura t=5 s e t=10 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de um veículo em uma estrada reta, que varia com o tempo segundo a equação . Aqui, e . A gente precisa calcular a velocidade instantânea do veículo nos instantes de tempo e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado pela derivada de em relação a . Então, precisamos derivar a função .

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de v(t) = 2alpha t - 3beta t^2 em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Portanto, a velocidade instantânea é:

Passo 4

Agora, substituímos os valores de v(t) = 2 times 3,4 times t - 3 times 0,2 times t^2 e v(t) = 6,8t - 0,6t^2 na equação da velocidade:

Passo 5

Vamos calcular a velocidade em v(5) = 6,8 times 5 - 0,6 times 5^2 :
v(5) = 34 - 0,6 times 25
v(5) = 34 - 15
v(5) = 19 m/s

Passo 6

Agora, calculamos a velocidade em v(10) = 6,8 times 10 - 0,6 times 10^2 :
v(10) = 68 - 0,6 times 100
v(10) = 68 - 60
v(10) = 8 m/s

Resposta

A velocidade instantânea do veículo é de em e em .

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