A velocidade c, na qual pulsa a pressão através das artérias, é função do diâmetro dessas artérias, D , espessura h da parede da artéria, massa específica do sangue
e o modulo de elasticidade E da parede da artéria. Determine os parâmetros adimensionais que podem ser usados para estudar experimentalmente o relacionamento entre a velocidade e as variáveis listadas. Utilizar sistema FLT.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade $ c $ com que a pressão pulsa nas artérias e como essa velocidade depende de várias variáveis: diâmetro $ D $ das artérias, espessura $ h $ da parede da artéria, massa específica do sangue $ \rho $, e o módulo de elasticidade $ E $ da parede da artéria. O objetivo é determinar parâmetros adimensionais para estudar experimentalmente essa relação usando o sistema FLT (Força, Comprimento, Tempo).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são parâmetros adimensionais. Esses são combinações das variáveis do problema que não têm unidade, ou seja, são puramente números. Eles são super úteis porque permitem comparar diferentes sistemas sem se preocupar com as unidades.
Passo 3
Para encontrar esses parâmetros, vamos usar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a reduzir o número de variáveis em um problema físico criando combinações adimensionais delas.
Passo 4
Vamos listar as variáveis envolvidas e suas dimensões fundamentais:
- Velocidade $ c $: dimensão $ L T^{-1} $ (comprimento / tempo)
- Diâmetro $ D $: dimensão $ L $ (comprimento)
- Espessura $ h $: dimensão $ L $ (comprimento)
- Massa específica $ \rho $: dimensão $ M L^{-3} $ (massa / comprimento³)
- Módulo de elasticidade $ E $: dimensão $ M L^{-1} T^{-2} $ (massa / (comprimento × tempo²))
Passo 5
Contando as variáveis, temos 5 variáveis físicas e 3 dimensões fundamentais (Massa $ M $, Comprimento $ L $, Tempo $ T $). O Teorema de Buckingham Pi nos diz que o número de parâmetros adimensionais será igual ao número de variáveis menos o número de dimensões, ou seja, $ 5 - 3 = 2 $.
Passo 6
Agora, precisamos formar duas combinações adimensionais usando as 5 variáveis. Geralmente, escolhemos algumas variáveis como referencia (chamadas de “regras pi”) e combinamos as demais com essas.
Passo 7
Vamos escolher $ c $, $ D $ e $ E $ como nossas variáveis de referência. Agora, precisamos expressar as outras variáveis ($ h $ e $ \rho $) em termos dessas.
Passo 8
Formamos a primeira combinação adimensional ($ \Pi_1 $) relacionando a velocidade $ c $, diâmetro $ D $, e massa específica $ \rho $:
Passo 9
A segunda combinação adimensional ($ \Pi_2 $) relaciona a espessura $ h $, diâmetro $ D $, e uma das variáveis de referência. Vamos relacionar $ h $ com $ D $:
Resposta
Os parâmetros adimensionais que podem ser usados são: