A velocidade de um objeto pode ser encontrada a partir da definição de derivada. Suponha que um carro percorrendo um trajeto tenha o seu vetor posição dado por X(t)=a+b+ct²+dt, com a=5,0m, b=0.0, c=2,0m/s² e d=0,5m/s. Qual a velocidade do carro em t=20s?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre velocidade de um carro usando derivadas. A gente tem a posição do carro em função do tempo: $ X(t) = a + b + ct^2 + dt $, com os valores $ a = 5,0 , m $, $ b = 0,0 $, $ c = 2,0 , m/s^2 $ e $ d = 0,5 , m/s $. Nosso objetivo é encontrar a velocidade do carro no tempo $ t = 20 , s $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se $ X(t) $ é a posição, então a velocidade $ V(t) $ é:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função $ X(t) $ em relação a $ t $. Dada a posição:
Derivando termo a termo:
- A derivada de uma constante ($ a $ ou $ b $) é zero.
- A derivada de $ ct^2 $ é $ 2ct $.
- A derivada de $ dt $ é $ d $.
Então, temos:
Passo 4
Vamos substituir os valores dados na expressão da velocidade. Sabemos que $ c = 2,0 , m/s^2 $ e $ d = 0,5 , m/s $. Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a velocidade no tempo $ t = 20 , s $. Substituindo:
Resposta
A velocidade do carro em $ t = 20 , s $ é 80,5 metros por segundo.