Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu deslocamento depois de 10 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a velocidade de uma partícula é dada por $ v(t) = 3t $ em metros por segundo. A gente precisa encontrar o deslocamento dessa partícula depois de 10 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente o relacionamento entre velocidade e deslocamento. Vamos precisar entender que o deslocamento é a área sob a curva da velocidade em relação ao tempo, ou seja, vamos integrar a função da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é deslocamento. Deslocamento é a distância líquida que a partícula percorre em um certo intervalo de tempo, levando em conta a direção. Matematicamente, para encontrar o deslocamento $ S $ a partir da velocidade $ v(t) $, usamos a integral definida:
S

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. A velocidade é $ v(t) = 3t $ e queremos o deslocamento entre $ t_1 = 0 $ segundos e $ t_2 = 10 $ segundos. Então, a integral fica:
v(t) = 3t

Passo 4

Vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de $ 3t $:
3t
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos da constante $ C $. Agora, aplicamos os limites de 0 a 10:
integral 3t , dt = 32t^2 + C

Resposta

O deslocamento da partícula depois de 10 segundos é 150 metros.

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