A velocidade de uma partícula, em metros por segundo, é dada por v=7,00-4,00 t ( t é dado em segundos). (a) Desenhe a curva v(t) times t e diga qual é a área entre a curva e o eixo-t, de t=2 s até t=6 s; (b) encontre a função posição x(t); © calcule o deslocamento da partícula no intervalo de tempo entre t=2 s e t=6 s; (d) qual a velocidade média da partícula neste intervalo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de cinemática onde a velocidade da partícula é dada por (com em segundos). A gente vai resolver quatro partes:
a) Desenhar o gráfico de versus e calcular a área entre a curva e o eixo de s até s.
b) Encontrar a função posição .
c) Calcular o deslocamento da partícula nesse intervalo de tempo.
d) Determinar a velocidade média da partícula nesse intervalo.
Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integração para achar áreas e funções integrais para achar a posição. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a: Desenhar a curva Área = integral2^6 v(t) , dt = integral2^6 (7,00 - 4,00t) , dt e calcular a área entre a curva e o eixo de s até s.
Primeiro, vamos entender o que a função representa. Essa é uma função linear que mostra como a velocidade da partícula varia com o tempo. O coeficiente de é negativo, o que indica que a velocidade está diminuindo com o tempo.
Para desenhar o gráfico:
  1. Encontrar pontos chave:
    • Quando : m/s.
    • Quando : s.
  2. Desenhar a linha reta que passa por esses pontos, decrescendo com inclinação de -4.
Agora, a área entre a curva e o eixo de s até s representa o deslocamento da partícula nesse intervalo. Para calcular essa área, usamos a integração da função velocidade no intervalo dado:
Á
Vamos calcular isso no próximo passo.

Passo 3

Calculando a área (parte a):
Vamos resolver a integral:
integral2^6 (7,00 - 4,00t) , dt = integral2^6 7,00 , dt - integral2^6 4,00t , dt
Calculando cada parte:
  1. Área = 28 - 64 = -36 m m/s·s.
  2. m/s·s.
Agora, subtraímos:
Á
O sinal negativo indica que a velocidade é negativa nesse intervalo, ou seja, a partícula está se movendo na direção oposta ao referencial escolhido.

Passo 4

Parte b: Encontrar a função posição v(t) = dxdt = 7,00 - 4,00t .
A função posição x(t) = integral v(t) , dt = integral (7,00 - 4,00t) , dt = 7,00t - 2,00t^2 + C é obtida integrando a função velocidade x(t) = 7,00t - 2,00t^2 em relação ao tempo. Sabemos que:
Para encontrar , integramos :
Onde é a constante de integração, que representa a posição inicial da partícula. Se não tivermos uma condição inicial específica, deixamos na expressão. Porém, para simplificar, vamos considerar que (posição inicial zerada):

Passo 5

Parte c: Calcular o deslocamento da partícula entre De s e De s.
O deslocamento é a diferença na posição da partícula entre os dois instantes de tempo. Usando a função posição :
Calculando cada termo:
  1. m
  2. m
Então:
Isso confirma o deslocamento negativo que vimos na parte a, indicando movimento na direção negativa.

Passo 6

Parte d: Determinar a velocidade média da partícula no intervalo de vmédia = De s a vmédia = -364 = -9,00 m/s s.
A velocidade média ( é) é dada pela fórmula:
é
Onde:
  • m (do passo anterior)
  • s
Então:
é
Isso significa que, em média, a partícula se deslocou a uma velocidade de 9 m/s na direção negativa durante esse intervalo de tempo.

Resposta

a) A área entre a curva e o eixo de s até s é metros.
b) A função posição é .
c) O deslocamento da partícula nesse intervalo é metros.
d) A velocidade média da partícula nesse intervalo é m/s.

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