O ventilador de 60 W de um sistema de aquecimento central circula ar através dos dutos. A análise de fluxo mostra que o ventilador deve aumentar a pressão de ar de 50 Pa para manter o fluxo. O ventilador está localizado numa secção horizontal do fluxo cujo diâmetro de 30 cm , tanto na entrada e na saída. Determinar a velocidade de escoamento média mais alta possível no duto. (Resp.:
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ventilador de 60 W que está circulando ar através de dutos num sistema de aquecimento central. O ventilador precisa aumentar a pressão do ar de 50 Pa para manter o fluxo. Os dutos têm diâmetro de 30 cm na entrada e na saída, e queremos descobrir qual é a velocidade média mais alta possível do ar nesse duto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de fluidos, especificamente como potência, pressão e velocidade se relacionam em um fluxo contínuo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a potência fornecida pelo ventilador, a diferença de pressão que ele cria e a taxa de fluxo de ar. A fórmula que conecta esses elementos é:
Onde:
- $ P $ é a potência (em watts),
- $ \Delta p $ é a diferença de pressão (em pascal, Pa),
- $ Q $ é a vazão volumétrica (em metros cúbicos por segundo, m³/s).
Aqui, queremos achar a vazão $ Q $.
Passo 3
Vamos rearranjar a fórmula para isolarmos $ Q $:
Substituindo os valores que temos:
Então, a vazão de ar é de 1,2 metros cúbicos por segundo.
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a vazão volumétrica $ Q $ com a velocidade média do ar $ v $. Para isso, usamos a fórmula:
Onde:
- $ A $ é a área da seção transversal do duto,
- $ v $ é a velocidade média do fluxo.
Primeiro, vamos calcular a área $ A $. O diâmetro do duto é de 30 cm, então o raio $ r $ é de 15 cm ou 0,15 metros. A fórmula da área de um círculo é:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade média $ v $ usando a relação $ Q = A \times v $:
Arredondando, a velocidade média mais alta possível no duto é de aproximadamente 17 metros por segundo.
Resposta
A velocidade de escoamento média mais alta possível no duto é de 17 m/s.