Numa comunidade em que apenas dez casais trabalham, fez-se um levantamento no qual foram obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais:
Casal | Rendimento do Homem
|
Rendimento da Mulher
|
---|---|---|
1 | 10 | 5 |
2 | 10 | 10 |
3 | 5 | 5 |
4 | 10 | 5 |
5 | 15 | 5 |
6 | 10 | 10 |
7 | 5 | 10 |
8 | 15 | 10 |
9 | 10 | 10 |
10 | 5 | 10 |
Um casal é escolhido ao acaso entre os dez. Seja
o rendimento do homem e
o da mulher.
(a) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de e
.
(b) Determine as distribuições marginais de e
.
© e
são v.a. independentes? Justifique.
(d) Calcule as médias e variâncias de e
e a covariância entre elas.
(e) Considere a v.a. igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcule a média e variância de
.
(f) Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano disponível, e que se oferecerá ao casal escolhido a possibilidade de comprar uma casa pelo preço de 20, qual a probabilidade de que o casal escolhido possa efetuar a compra?
(a) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de
(b) Determine as distribuições marginais de
©
(d) Calcule as médias e variâncias de
(e) Considere a v.a.
(f) Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano disponível, e que se oferecerá ao casal escolhido a possibilidade de comprar uma casa pelo preço de 20, qual a probabilidade de que o casal escolhido possa efetuar a compra?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma comunidade com dez casais, e para cada casal, sabemos quanto o homem e a mulher ganham por ano. O que a gente vai fazer aqui envolve conceitos de probabilidade, como distribuição conjunta, distribuições marginais, independência de variáveis aleatórias, médias, variâncias, covariância e probabilidade de eventos específicos. Pra resolver isso, vamos precisar organizar os dados, aplicar fórmulas de probabilidade e estatística básica.
Passo 2
(a) Construir a distribuição de probabilidade conjunta de
e
.
Primeiro, vamos entender o que é distribuição de probabilidade conjunta. Ela mostra a probabilidade de ocorrerem certos pares de valores para
(rendimento do homem) e
(rendimento da mulher).
Vamos listar todos os possíveis pares
e contar quantas vezes cada par aparece nos dados. Como temos 10 casais, cada casal representa uma ocorrência com probabilidade
.
Aqui estão os dados:
Casal |
|
|
---|---|---|
1 | 10 | 5 |
2 | 10 | 10 |
3 | 5 | 5 |
4 | 10 | 5 |
5 | 15 | 5 |
6 | 10 | 10 |
7 | 5 | 10 |
8 | 15 | 10 |
9 | 10 | 10 |
10 | 5 | 10 |
Agora, vamos contar as ocorrências de cada par:
-
: 1 vez -
: 2 vezes -
: 3 vezes -
: 3 vezes -
: 1 vez -
: 1 vez
Agora, calculamos a probabilidade de cada par dividindo o número de ocorrências por 10:
|
|
|
---|---|---|
5 | 5 |
|
5 | 10 |
|
10 | 5 |
|
10 | 10 |
|
15 | 5 |
|
15 | 10 |
|
Passo 3
(b) Determinar as distribuições marginais de
e
.
Distribuições marginais são as probabilidades de cada variável individualmente, sem considerar a outra.
Para
:
Vamos somar as probabilidades de todos os pares que têm o mesmo valor de
:
-
: -
: -
:
Então, a distribuição marginal de
é:
|
|
---|---|
5 |
|
10 |
|
15 |
|
Para
:
Vamos somar as probabilidades de todos os pares que têm o mesmo valor de
:
-
: -
:
Então, a distribuição marginal de
é:
|
|
---|---|
5 |
|
10 |
|
Passo 4
© Determinar se
e
são variáveis aleatórias independentes.
Duas variáveis aleatórias são independentes se a probabilidade conjunta for igual ao produto das probabilidades marginais, ou seja:
Vamos verificar para alguns pares:
Por exemplo, para
:
Como
, já temos que
e
não são independentes.
Passo 5
(d) Calcular as médias e variâncias de
e
e a covariância entre elas.
Média de
:
Média de
:
Variância de
:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Variância de
:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Hmm, a variância não pode ser negativa. Vamos revisar os cálculos:
Na verdade,
foi calculado com um erro. Vamos refazer:
Correção:
Na distribuição marginal de
, as probabilidades somam:
Mas somando,
, o que não faz sentido, pois deve somar 1. Parece que houve um erro na distribuição marginal de
. Vamos revisar o Passo 3.
Revisão do Passo 3:
Na distribuição marginal de
, o total das probabilidades deve ser 1. Observando os dados:
Olha só que estranho, somando as probabilidades das marginais de
:
Mas
, o que está errado. Parece que houve um erro na contagem dos pares.
Vamos refazer a contagem para
:
Observando os dados novamente:
- Casal 1:
- Casal 2:
- Casal 3:
- Casal 4:
- Casal 5:
- Casal 6:
- Casal 7:
- Casal 8:
- Casal 9:
- Casal 10:
Então:
-
: 4 casais -
: 6 casais
Portanto, a distribuição correta é:
|
|
---|---|
5 |
|
10 |
|
Agora, recalculando
:
Então,
Ainda está negativo. Algo está errado. Vamos verificar a média de
.
Na verdade, refazendo:
Então,
Agora está correto!
Covariância entre
e
:
Primeiro, calculamos
:
Usando a distribuição conjunta:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então,
Passo 6
(e) Considerar a v.a.
igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcular a média e variância de
.
A variável
é definida como
.
Média de
:
Variância de
:
Como
,
Passo 7
(f) Calcular a probabilidade de que o casal escolhido possa efetuar a compra de uma casa pelo preço de 20.
Isso significa que a soma dos rendimentos
deve ser pelo menos 20 para comprar a casa.
Queremos
.
Vamos verificar quais casais têm
:
Calculando
para cada casal:
-
→ Não -
→ Sim -
→ Não -
→ Não -
→ Sim -
→ Sim -
→ Não -
→ Sim -
→ Sim -
→ Não
Casais que podem comprar: Casal 2, 5, 6, 8, 9 → 5 casais.
Então,
Resposta
Finalizando, a distribuição de probabilidade conjunta de
e
está conforme apresentado na Parte (a). As distribuições marginais são:
-
:
|
|
---|---|
5 |
|
10 |
|
15 |
|
-
:
|
|
---|---|
5 |
|
10 |
|
As variáveis
e
não são independentes. As médias e variâncias são:
-
, -
, -
Para a variável
:
A probabilidade de que o casal escolhido possa comprar a casa é
ou 50%.
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(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em
inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 e 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 e 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.