Numa comunidade em que apenas dez casais trabalham, fez-se um levantamento no qual foram obtidos os seguintes valores para os rendimentos anuais:
Casal Rendimento do Homem (X) Rendimento da Mulher (Y)
1 10 5
2 10 10
3 5 5
4 10 5
5 15 5
6 10 10
7 5 10
8 15 10
9 10 10
10 5 10
Um casal é escolhido ao acaso entre os dez. Seja X o rendimento do homem e Y o da mulher.
(a) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y.
(b) Determine as distribuições marginais de X e Y.
© X e Y são v.a. independentes? Justifique.
(d) Calcule as médias e variâncias de X e Y e a covariância entre elas.
(e) Considere a v.a. Z igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcule a média e variância de Z.
(f) Supondo que todos os casais tenham a renda de um ano disponível, e que se oferecerá ao casal escolhido a possibilidade de comprar uma casa pelo preço de 20, qual a probabilidade de que o casal escolhido possa efetuar a compra?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma comunidade com dez casais, e para cada casal, sabemos quanto o homem e a mulher ganham por ano. O que a gente vai fazer aqui envolve conceitos de probabilidade, como distribuição conjunta, distribuições marginais, independência de variáveis aleatórias, médias, variâncias, covariância e probabilidade de eventos específicos. Pra resolver isso, vamos precisar organizar os dados, aplicar fórmulas de probabilidade e estatística básica.

Passo 2

(a) Construir a distribuição de probabilidade conjunta de e .
Primeiro, vamos entender o que é distribuição de probabilidade conjunta. Ela mostra a probabilidade de ocorrerem certos pares de valores para (rendimento do homem) e (rendimento da mulher).
Vamos listar todos os possíveis pares e contar quantas vezes cada par aparece nos dados. Como temos 10 casais, cada casal representa uma ocorrência com probabilidade .
Aqui estão os dados:
Casal
1 10 5
2 10 10
3 5 5
4 10 5
5 15 5
6 10 10
7 5 10
8 15 10
9 10 10
10 5 10
Agora, vamos contar as ocorrências de cada par:
  • : 1 vez
  • : 2 vezes
  • : 3 vezes
  • : 3 vezes
  • : 1 vez
  • : 1 vez
Agora, calculamos a probabilidade de cada par dividindo o número de ocorrências por 10:
5 5
5 10
10 5
10 10
15 5
15 10

Passo 3

(b) Determinar as distribuições marginais de e .
Distribuições marginais são as probabilidades de cada variável individualmente, sem considerar a outra.
Para :
Vamos somar as probabilidades de todos os pares que têm o mesmo valor de :
  • :
  • :
  • :
Então, a distribuição marginal de é:
5
10
15
Para :
Vamos somar as probabilidades de todos os pares que têm o mesmo valor de :
  • :
  • :
Então, a distribuição marginal de é:
5
10

Passo 4

© Determinar se P(X, Y) = P(X) times P(Y) e P(X=5, Y=5) = 110 são variáveis aleatórias independentes.
Duas variáveis aleatórias são independentes se a probabilidade conjunta for igual ao produto das probabilidades marginais, ou seja:
P(X=5) times P(Y=5) = 310 times 510 = 15100 = 320
Vamos verificar para alguns pares:
Por exemplo, para :
Como , já temos que e não são independentes.

Passo 5

(d) Calcular as médias e variâncias de E[X] = sum x cdot P(X=x) = 5 cdot 310 + 10 cdot 610 + 15 cdot 210 = 1.5 + 6 + 3 = 10.5 e E[Y] = sum y cdot P(Y=y) = 5 cdot 510 + 10 cdot 810 = 2.5 + 8 = 10.5 e a covariância entre elas.
Média de E[X^2] = 5^2 cdot 310 + 10^2 cdot 610 + 15^2 cdot 210 = 25 cdot 0.3 + 100 cdot 0.6 + 225 cdot 0.2 = 7.5 + 60 + 45 = 112.5 :
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 112.5 - (10.5)^2 = 112.5 - 110.25 = 2.25
Média de E[Y^2] = 5^2 cdot 510 + 10^2 cdot 810 = 25 cdot 0.5 + 100 cdot 0.8 = 12.5 + 80 = 92.5 :
Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 92.5 - (10.5)^2 = 92.5 - 110.25 = -17.75
Variância de P(Y=5) = 510 = 0.5 :
Primeiro, calculamos P(Y=10) = 810 = 0.8 :
P(Y=5) = 110 + 310 + 110 = 510
Então,
P(Y=10) = 210 + 310 + 210 + 110 = 810
Variância de E[Y^2] = 5^2 cdot 410 + 10^2 cdot 610 = 25 cdot 0.4 + 100 cdot 0.6 = 10 + 60 = 70 :
Primeiro, calculamos Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 70 - (10.5)^2 = 70 - 110.25 = -40.25 :
E[Y] = 5 cdot 410 + 10 cdot 610 = 2 + 6 = 8
Então,
E[Y^2] = 25 cdot 0.4 + 100 cdot 0.6 = 10 + 60 = 70
Hmm, a variância não pode ser negativa. Vamos revisar os cálculos:
Na verdade, Var(Y) = 70 - (8)^2 = 70 - 64 = 6 foi calculado com um erro. Vamos refazer:
Correção:
Na distribuição marginal de Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] , as probabilidades somam:
E[XY] = sum x cdot y cdot P(X=x, Y=y)
E[XY] = 2.5 + 10 + 15 + 30 + 7.5 + 15 = 80
Mas somando, Cov(X, Y) = 80 - (10.5 times 8) = 80 - 84 = -4 , o que não faz sentido, pois deve somar 1. Parece que houve um erro na distribuição marginal de . Vamos revisar o Passo 3.
Revisão do Passo 3:
Na distribuição marginal de , o total das probabilidades deve ser 1. Observando os dados:
Olha só que estranho, somando as probabilidades das marginais de :
Mas , o que está errado. Parece que houve um erro na contagem dos pares.
Vamos refazer a contagem para :
Observando os dados novamente:
  • Casal 1:
  • Casal 2:
  • Casal 3:
  • Casal 4:
  • Casal 5:
  • Casal 6:
  • Casal 7:
  • Casal 8:
  • Casal 9:
  • Casal 10:
Então:
  • : 4 casais
  • : 6 casais
Portanto, a distribuição correta é:
5
10
Agora, recalculando :
Então,
Ainda está negativo. Algo está errado. Vamos verificar a média de .
Na verdade, refazendo:
Então,
Agora está correto!
Covariância entre e :
Primeiro, calculamos :
Usando a distribuição conjunta:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então,

Passo 6

(e) Considerar a v.a. E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] = 10.5 + 8 = 18.5 igual à soma dos rendimentos de cada homem e mulher. Calcular a média e variância de Var(Z) = Var(X) + Var(Y) + 2 cdot Cov(X, Y) .
A variável Var(Z) = 2.25 + 6 + 2 cdot (-4) = 8.25 - 8 = 0.25 é definida como .
Média de :
Variância de :
Como ,

Passo 7

(f) Calcular a probabilidade de que o casal escolhido possa efetuar a compra de uma casa pelo preço de 20.
Isso significa que a soma dos rendimentos P(Z >= 20) = 510 = 0.5 deve ser pelo menos 20 para comprar a casa.
Queremos .
Vamos verificar quais casais têm :
Calculando para cada casal:
  1. → Não
  2. → Sim
  3. → Não
  4. → Não
  5. → Sim
  6. → Sim
  7. → Não
  8. → Sim
  9. → Sim
  10. → Não
Casais que podem comprar: Casal 2, 5, 6, 8, 9 → 5 casais.
Então,

Resposta

Finalizando, a distribuição de probabilidade conjunta de e está conforme apresentado na Parte (a). As distribuições marginais são:
  • :
5
10
15
  • :
5
10
As variáveis e não são independentes. As médias e variâncias são:
  • ,
  • ,
Para a variável :
A probabilidade de que o casal escolhido possa comprar a casa é ou 50%.

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