Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
e
.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Basicamente,
é formado por todos os polinômios de grau no máximo 3, ou seja,
, que satisfazem duas condições:
e
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar esses conceitos para ver se
se encaixa nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- O vetor zero está em
. - Se
e estão em , então também está em (fechado para adição). - Se
está em e é um escalar, então está em (fechado para multiplicação por escalar).
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. Nesse contexto, o vetor zero é o polinômio nulo
. Vamos ver se ele satisfaz as duas condições:
-
➔ Sim, porque . -
➔ A derivada de também é , então .
Portanto, o polinômio zero está em.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios
e
que estão em
, a soma
também deve estar em
.
Como
e
estão em
, sabemos que:
-
e ➔ Então, . -
e ➔ Então, .
Portanto, a soma
também satisfaz as duas condições, ou seja, está em
.
Passo 5
Por último, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se tomarmos um polinômio
em
e multiplicarmos por um escalar
, o polinômio
também deve estar em
.
Como
está em
, temos:
-
➔ Então, . -
➔ A derivada de é , então .
Dessa forma,
também satisfaz as duas condições, ou seja, está em
.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todas as três condições de um subespaço vetorial, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
é crescente
.
Seja
o espaço vetorial das funções
. Mostre que
,
e
são subespaços vetoriais de
.