Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=p in P3(R) mid p(-1)=0 e p^prime(1)=0.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Basicamente, é formado por todos os polinômios de grau no máximo 3, ou seja, , que satisfazem duas condições: e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar esses conceitos para ver se se encaixa nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se e estão em , então também está em (fechado para adição).
  3. Se está em e é um escalar, então está em (fechado para multiplicação por escalar).
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . Nesse contexto, o vetor zero é o polinômio nulo . Vamos ver se ele satisfaz as duas condições:
  • ➔ Sim, porque .
  • ➔ A derivada de também é , então .
    Portanto, o polinômio zero está em .

Passo 4

Agora, vamos ver se é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios e que estão em , a soma também deve estar em .
Como e estão em , sabemos que:
  • e ➔ Então, .
  • e ➔ Então, .
Portanto, a soma também satisfaz as duas condições, ou seja, está em .

Passo 5

Por último, vamos verificar se é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se tomarmos um polinômio em e multiplicarmos por um escalar , o polinômio também deve estar em .
Como está em , temos:
  • ➔ Então, .
  • ➔ A derivada de é , então .
Dessa forma, também satisfaz as duas condições, ou seja, está em .

Resposta

Como o conjunto satisfaz todas as três condições de um subespaço vetorial, podemos concluir que é, de fato, um subespaço de .

Exercícios relacionados

Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=p in P2(R) mid integral-1^1 p(x) d x+p^prime(0)=0.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=A in Mn(R) mid A^2=A.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=f in C[a, b] mid f é crescente .
Seja F(R) o espaço vetorial das funções f: R R. Mostre que U=f in F(R) mid f(1)=0, W=f in F(R) mid f(3)=f(1) e Z=f in F(R) mid f(-x)=-f(x) são subespaços vetoriais de F(R).