Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
é crescente
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar três propriedades fundamentais que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio. Um subespaço vetorial deve conter pelo menos o vetor zero. No nosso caso, o vetor zero seria a função constante
para todo
. Essa função é crescente porque não diminui em nenhum ponto. Portanto,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções
e
que são crescentes, a soma
também deve ser crescente.
Vamos supor que
e
são crescentes em
. Para qualquer
, temos:
Somando essas desigualdades:
Isso mostra que
também é crescente. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função
em
e um escalar
, a função
também deve estar em
.
Vamos considerar dois casos:
-
Se
: Se é crescente, então também será crescente, já que multiplicar por um número positivo mantém a ordem. -
Se
: Se é crescente, então será decrescente, pois multiplicar por um número negativo inverte a ordem. -
Se
: será a função zero, que já é crescente.
Notamos que, para
,
deixa de ser crescente, não pertencendo mais a
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial, pois não é fechado sob multiplicação por escalares negativos.
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Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
e
.
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Seja
o espaço vetorial das funções
. Mostre que
,
e
são subespaços vetoriais de
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.