Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=f in C[a, b] mid f é crescente .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o conjunto é é um subespaço vetorial. Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar três propriedades fundamentais que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se não está vazio. Um subespaço vetorial deve conter pelo menos o vetor zero. No nosso caso, o vetor zero seria a função constante para todo . Essa função é crescente porque não diminui em nenhum ponto. Portanto, não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se f(x1) <= f(x2) e g(x1) <= g(x2) é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos duas funções f(x1) + g(x1) <= f(x2) + g(x2) e que são crescentes, a soma também deve ser crescente.
Vamos supor que e são crescentes em . Para qualquer , temos:
Somando essas desigualdades:
Isso mostra que também é crescente. Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função em e um escalar , a função também deve estar em .
Vamos considerar dois casos:
  1. Se : Se é crescente, então também será crescente, já que multiplicar por um número positivo mantém a ordem.
  2. Se : Se é crescente, então será decrescente, pois multiplicar por um número negativo inverte a ordem.
  3. Se : será a função zero, que já é crescente.
Notamos que, para , deixa de ser crescente, não pertencendo mais a .

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial, pois não é fechado sob multiplicação por escalares negativos.

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Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=p in P3(R) mid p(-1)=0 e p^prime(1)=0.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=p in P2(R) mid integral-1^1 p(x) d x+p^prime(0)=0.
Seja F(R) o espaço vetorial das funções f: R R. Mostre que U=f in F(R) mid f(1)=0, W=f in F(R) mid f(3)=f(1) e Z=f in F(R) mid f(-x)=-f(x) são subespaços vetoriais de F(R).
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. I=e^x, e^-x em F(R).