Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre Subespaços Vetoriais. Para resolver, vamos precisar revisar as condições que definem um subespaço vetorial e aplicar cada uma delas ao conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições principais para que um conjunto seja um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O conjunto precisa ter o vetor zero do espaço vetorial maior.
- Fechado quanto à adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado quanto à multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é o polinômio zero, ou seja,
para todo
. Vamos verificar se
está em
:
Como a condição
é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado quanto à adição:
Vamos supor que
e
são dois polinômios em
. Isso significa que:
Queremos ver se
também está em
. Calculando:
Portanto, a soma
também está em
.
Passo 5
3. Fechado quanto à multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio
em
e um escalar
. Precisamos verificar se
está em
:
Assim,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado quanto à adição e fechado quanto à multiplicação por escalar.
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é um subespaço vetorial.
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e
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é crescente
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