Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial. W=p in P2(R) mid integral-1^1 p(x) d x+p^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre Subespaços Vetoriais. Para resolver, vamos precisar revisar as condições que definem um subespaço vetorial e aplicar cada uma delas ao conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições principais para que um conjunto seja um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto precisa ter o vetor zero do espaço vetorial maior.
  2. Fechado quanto à adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado quanto à multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em integral-1^1 0 , dx + p^prime(0) = 0 + 0 = 0 é o polinômio zero, ou seja, para todo . Vamos verificar se está em :
Como a condição é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado quanto à adição:
Vamos supor que integral-1^1 p(x) , dx + p^prime(0) = 0 e integral-1^1 q(x) , dx + q^prime(0) = 0 são dois polinômios em integral-1^1 [p(x) + q(x)] , dx + [p + q]^prime(0) = integral-1^1 p(x) , dx + integral-1^1 q(x) , dx + p^prime(0) + q^prime(0) . Isso significa que:
= (0) + (0) = 0
Queremos ver se também está em . Calculando:
Portanto, a soma também está em .

Passo 5

3. Fechado quanto à multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio integral-1^1 [c cdot p(x)] , dx + [c cdot p]^prime(0) = c cdot integral-1^1 p(x) , dx + c cdot p^prime(0) em = c cdot 0 + c cdot 0 = 0 e um escalar . Precisamos verificar se está em :
Assim, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de porque satisfaz todas as condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado quanto à adição e fechado quanto à multiplicação por escalar.

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