Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada.
;
.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E duas funções:
O objetivo é verificar se cada uma dessas funções é solução dessa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de cada função e substituir na equação diferencial para ver se ela se iguala a zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função, . Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de .
Sabemos que a derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir , e na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Então, para :
Isso confirma que é uma solução da equação diferencial.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda função, . Primeiro, encontramos a primeira derivada:

Passo 6

Em seguida, a segunda derivada de :

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Então, para :
Isso confirma que também é uma solução da equação diferencial.

Resposta

Ambas as funções e são soluções da equação diferencial .

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