Verifique que cada função dada, y1(t) e / o u y2(t), é uma solução da equação diferencial associada.
y^prime prime+2 y^prime-3 y=0;
y1(t)=e^-3 t, y2(t)=e^t.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 2y' - 3y = 0
E duas funções:
y1(t) = e^-3t, y2(t) = e^t
O objetivo é verificar se cada uma dessas funções é solução dessa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de cada função e substituir na equação diferencial para ver se ela se iguala a zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função, y1'(t) = ddt e^-3t = -3e^-3t . Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de .
Sabemos que a derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y1''(t) = ddt (-3e^-3t) = (-3)(-3)e^-3t = 9e^-3t :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir y'' + 2y' - 3y = 9e^-3t + 2(-3e^-3t) - 3(e^-3t) , 9e^-3t - 6e^-3t - 3e^-3t = 0 e 0 = 0 na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Então, para :
Isso confirma que é uma solução da equação diferencial.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda função, y2'(t) = ddt e^t = e^t . Primeiro, encontramos a primeira derivada:

Passo 6

Em seguida, a segunda derivada de y2''(t) = ddt e^t = e^t :

Passo 7

Substituindo y'' + 2y' - 3y = e^t + 2(e^t) - 3(e^t) , e^t + 2e^t - 3e^t = 0 e 0 = 0 na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Então, para :
Isso confirma que também é uma solução da equação diferencial.

Resposta

Ambas as funções e são soluções da equação diferencial .

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