Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E duas funções:
O objetivo é verificar se cada uma dessas funções é solução dessa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de cada função e substituir na equação diferencial para ver se ela se iguala a zero.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função,
. Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Então, para
:
Isso confirma que
é uma solução da equação diferencial.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda função,
. Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Passo 6
Em seguida, a segunda derivada de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Então, para
:
Isso confirma que
também é uma solução da equação diferencial.
Resposta
Ambas as funções
e
são soluções da equação diferencial
.