Verifique que cada função dada, y1(t) e / o u y2(t), é uma solução da equação diferencial associada.
y^prime prime prime prime+4 y^prime prime prime+3 y=t
y1(t)=t / 3, y2(t)=e^-t+t / 3.

Passo 1

Beleza! A gente tem que verificar se as funções e são soluções da equação diferencial . Para isso, vamos usar o conteúdo sobre equações diferenciais e substituição das funções na equação para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução. Para isso, precisamos calcular as derivadas de até a quarta ordem e substituir na equação diferencial.

Passo 3

Calculando as derivadas de y1(t) = t3 :
y1'(t) = 13
y1''(t) = 0
y1'''(t) = 0
y1''''(t) = 0

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na equação diferencial 0 + 4 cdot 0 + 3 cdot ( t3 ) = t :
0 + 0 + t = t
Como a igualdade é verdadeira, isso confirma que é de fato uma solução da equação diferencial.

Passo 5

Agora, vamos verificar . Precisamos calcular as derivadas até a quarta ordem e substituir na equação.

Passo 6

Calculando as derivadas de y2(t) = e^-t + t3 :
y2'(t) = -e^-t + 13
y2''(t) = e^-t
y2'''(t) = -e^-t
y2''''(t) = e^-t

Passo 7

Substituímos essas derivadas na equação diferencial e^-t + 4 cdot (-e^-t) + 3 cdot ( e^-t + t3 ) = t :
e^-t - 4e^-t + 3e^-t + t = t
(e^-t - 4e^-t + 3e^-t) + t = t
Simplificando os termos com 0 + t = t :
Como a igualdade também é verdadeira, isso confirma que é outra solução da equação diferencial.

Resposta

Ambas as funções e são soluções da equação diferencial .

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