Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
h: M2 times 2(R) R dada por h(A)=det A, forall A in M2 times 2(R).

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se a função , definida por para qualquer matriz de ordem 2, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de transformação linear e as propriedades que definem uma função linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .
Então, para a função ser linear, ela precisa obedecer a essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja h(A + B) = det(A + B) e h(A) + h(B) = det A + det B duas matrizes em A = 1 & 0 0 & 1, B = 1 & 0 0 & 1 . Calculamos A + B = 2 & 0 0 & 2 e comparamos com det(A) = 1, det(B) = 1, det(A + B) = 4 :
det(A) + det(B) = 2 neq 4 = det(A + B)
Sabemos que, em geral, . Por exemplo, considere:
Isso mostra que a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Já que a primeira propriedade não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda propriedade (multiplicação por escalar). Mesmo que uma das propriedades falhe, a função não é uma transformação linear.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz a propriedade da adição.

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