Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se a função , definida por para qualquer matriz de ordem 2, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de transformação linear e as propriedades que definem uma função linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .
Então, para a função ser linear, ela precisa obedecer a essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja e duas matrizes em . Calculamos e comparamos com :
Sabemos que, em geral, . Por exemplo, considere:
Isso mostra que a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Já que a primeira propriedade não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda propriedade (multiplicação por escalar). Mesmo que uma das propriedades falhe, a função não é uma transformação linear.

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz a propriedade da adição.

Exercícios relacionados

Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(a) é um espaço vetorial real?
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre . (Este exercício deve ser resolvido com a definição de espaço vetorial)
© , com as operações usuais de funções.
Com base em seus conhecimentos adquiridos ao longo das semanas de estudo
*
aponte as principais causas da atual situação financeira pessoal do indivíduo analisado. Identifique todos os erros que ele (a) vem cometendo e que consequentemente vem comprometendo sua saúde financeira.
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(e) e .