Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta se a função
, definida por
para qualquer matriz
de ordem 2, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de transformação linear e as propriedades que definem uma função linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Então, para a função
ser linear, ela precisa obedecer a essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja
e
duas matrizes em
. Calculamos
e comparamos com
:
Sabemos que, em geral,
. Por exemplo, considere:
Isso mostra que a propriedade da adição não é satisfeita.
Passo 4
Já que a primeira propriedade não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda propriedade (multiplicação por escalar). Mesmo que uma das propriedades falhe, a função não é uma transformação linear.
Resposta
A função
não é uma transformação linear, pois não satisfaz a propriedade da adição.