Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um problema inicial (também conhecido como problema de Cauchy) que consiste em uma equação diferencial e uma condição inicial. O objetivo é verificar se esse problema é realmente um problema de Cauchy, além de estudar se existe uma solução única para ele. Se for um problema de Cauchy, precisamos encontrar um subconjunto aberto de onde essa solução única está garantida.
Aqui, o conteúdo principal envolve equações diferenciais ordinárias (EDOs) e os teoremas de existência e unicidade, como o teorema de Picard-Lindelöf. Vamos precisar entender um pouco sobre condições de Lipschitz para verificar a unicidade da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos no problema:
Aqui, representa a derivada de em relação a , e é a condição inicial.

Passo 3

Para verificar se este é um problema de Cauchy, precisamos confirmar que temos uma equação diferencial acompanhada de uma condição inicial. De fato, temos ambas as partes:
  • Equação diferencial:
  • Condição inicial:
Portanto, este é um problema de Cauchy.

Passo 4

Agora, vamos estudar a existência e unicidade da solução. O teorema de Picard-Lindelöf nos diz que, se a função for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em em torno do ponto inicial, então existe uma solução única.

Passo 5

Vamos verificar a continuidade de . A função é contínua para todo e , já que a raiz quadrada de um valor absoluto está sempre bem definida. Portanto, é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em . Para isso, precisamos ver se existe uma constante tal que:
Calculando a diferença:
A função não é Lipschitz contínua em , porque a derivada em não é limitada (tende ao infinito). Isso significa que a condição de Lipschitz não é satisfeita nesse ponto.

Passo 7

Como a condição de Lipschitz não é satisfeita no ponto inicial , o teorema de Picard-Lindelöf não garante a existência de uma solução única. Na realidade, existem múltiplas soluções que passam por , o que significa que a unicidade não é assegurada.

Passo 8

Mesmo assim, como o problema é de Cauchy (tem condição inicial), podemos tentar encontrar um subconjunto aberto de onde a função seja suficientemente “boa” para garantir a existência e unicidade. No entanto, devido à falta de condição de Lipschitz no ponto inicial, não conseguimos garantir tais propriedades em nenhum subconjunto aberto que contenha .

Resposta

O problema apresentado é um problema de Cauchy, mas não garante a existência e unicidade de uma solução única no ponto inicial devido à falta da condição de Lipschitz. Portanto, não existe um subconjunto aberto de ao redor de onde a solução única seja assegurada.

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Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.
Calcule .
a) éê
Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação com em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Determine uma função tal que . Em seguida calcule