Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de
onde possa garantir que isso aconteça.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício para verificar se ele é um problema de Cauchy. Problema de Cauchy é basicamente um tipo de equação diferencial com condições iniciais. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre problemas de Cauchy e os teoremas que garantem a existência e a unicidade das soluções, como o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, o que é um problema de Cauchy? É uma equação diferencial acompanhada de condições iniciais que nos dizem o valor da função e de suas derivadas em um ponto específico. No nosso caso, temos uma equação de segunda ordem com duas condições iniciais em
.
Passo 3
Agora, para garantir que existe uma solução única para esse problema, usamos o Teorema de Existência e Unicidade. Ele diz que se a função que está na equação diferencial for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em relação às variáveis dependentes (neste caso,
e
), então existe uma única solução no entorno do ponto inicial.
Passo 4
Vamos analisar a função na nossa equação:
Aqui,
depende de
e
, mas não de
. Para verificar a condição de Lipschitz em relação a
, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada é contínua em qualquer aberto de
onde
é limitado. Então,
satisfaz a condição de Lipschitz em
nesse subconjunto.
Passo 5
Com isso, podemos concluir que o problema é de Cauchy e que, em torno do ponto inicial
, existe uma solução única para a equação diferencial dada. Para garantir isso, podemos escolher um subconjunto aberto de
onde
e
estão próximos de 0 e 1, respectivamente.
Resposta
Sim, o problema dado é um problema de Cauchy. Podemos garantir a existência e unicidade da solução em um subconjunto aberto de
onde
está próximo de
. Por exemplo, o conjunto aberto:
onde
e
são números positivos pequenos o suficiente para manter a continuidade e a condição de Lipschitz da função
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
a)
a)
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=4-3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)
f(x)=4-3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)
Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de
onde possa garantir que isso aconteça.
Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições: