Calcule integralC F cdot N d s.
a) F(x, y)=x i+y j, C é a circunferência x^2+y^2=1 e n a normal exterior éê

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é calcular a integral de fluxo integralC F cdot N , ds, onde o campo vetorial é F(x, y) = x i + y j. A curva C é uma circunferência de raio 1, dada por x^2+y^2=1, e n é a normal que aponta para fora. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Green, e precisamos entender o que é divergência e como calcular áreas de regiões simples.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por nabla cdot F, basicamente mede quanta “quilo” do campo está saindo de um ponto. Para o nosso campo F(x, y) = x i + y j, vamos calcular isso:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y = partial xpartial x + partial ypartial y = 1 + 1 = 2
Então, a divergência do nosso campo é 2.

Passo 3

Agora, entra o Teorema de Green, que é super útil pra esse tipo de problema. Ele relaciona uma integral de linha (como a que a gente quer calcular) com uma integral dupla sobre a região que está dentro da curva C. No caso da nossa integral de fluxo, o Teorema de Green diz que:
ointC F cdot N , ds = integral duplaR (nabla cdot F) , dA
Aqui, R é a região dentro da circunferência C.

Passo 4

Sabemos que nabla cdot F = 2, então a integral dupla fica:
integral duplaR 2 , dA = 2 cdot Área(R) Á
Como R é um círculo de raio 1, a área dele é:
Área(R) = pi cdot 1^2 = pi Á

Passo 5

Finalmente, substituindo a área na expressão anterior:
2 cdot pi = 2pi

Resposta

2pi

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