Calcule
.
a)
a)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é calcular a integral de fluxo
, onde o campo vetorial é
. A curva
é uma circunferência de raio 1, dada por
, e
é a normal que aponta para fora. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Green, e precisamos entender o que é divergência e como calcular áreas de regiões simples.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
, basicamente mede quanta “quilo” do campo está saindo de um ponto. Para o nosso campo
, vamos calcular isso:
Então, a divergência do nosso campo é 2.
Passo 3
Agora, entra o Teorema de Green, que é super útil pra esse tipo de problema. Ele relaciona uma integral de linha (como a que a gente quer calcular) com uma integral dupla sobre a região que está dentro da curva
. No caso da nossa integral de fluxo, o Teorema de Green diz que:
Aqui,
é a região dentro da circunferência
.
Passo 4
Sabemos que
, então a integral dupla fica:
Como
é um círculo de raio 1, a área dele é:
Passo 5
Finalmente, substituindo a área na expressão anterior: