Verifique se o conjunto {phi_n} = {1, cos(x), cos(2x), ...} = {cos(nx)} é ortogonal em [-pi, pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o conjunto é ortogonal no intervalo [-pi, pi]. Isso está relacionado ao estudo de funções ortogonais, que são funções que, ao serem multiplicadas e integradas sobre um certo intervalo, dão zero. Para verificar isso, vamos precisar entender o que é ortogonalidade de funções e como calcular o produto interno entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa duas funções serem ortogonais em um intervalo. Duas funções f(x) e g(x) são ortogonais no intervalo [a, b] se o seguinte integral for igual a zero:
No nosso caso, queremos verificar se e são ortogonais no intervalo [-pi, pi], ou seja, se:

Passo 3

Para resolver esse integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a multiplicação de cossenos:
Então, o integral fica:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos limites:
  1. Para :
Como para qualquer inteiro k, temos:
  1. Para :
Portanto, ambos os integrais são iguais a zero.

Passo 5

Com isso, concluímos que:
Isso mostra que quaisquer duas funções e com são ortogonais no intervalo [-pi, pi].

Resposta

Sim, o conjunto é ortogonal no intervalo [-pi, pi].

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