Verifique se o conjunto
é ortogonal em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o conjunto
é ortogonal no intervalo
. Isso está relacionado ao estudo de funções ortogonais, que são funções que, ao serem multiplicadas e integradas sobre um certo intervalo, dão zero. Para verificar isso, vamos precisar entender o que é ortogonalidade de funções e como calcular o produto interno entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa duas funções serem ortogonais em um intervalo. Duas funções
e
são ortogonais no intervalo
se o seguinte integral for igual a zero:
No nosso caso, queremos verificar se
e
são ortogonais no intervalo
, ou seja, se:
Passo 3
Para resolver esse integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a multiplicação de cossenos:
Então, o integral fica:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos limites:
- Para
:
Como
para qualquer inteiro
, temos:
- Para
:
Portanto, ambos os integrais são iguais a zero.
Passo 5
Com isso, concluímos que:
Isso mostra que quaisquer duas funções
e
com
são ortogonais no intervalo
.
Resposta
Sim, o conjunto
é ortogonal no intervalo
.
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