Determinar a expansão em série de Fourier de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em série de Fourier da função que é definida assim:
A matéria que vamos usar aqui é a série de Fourier, que serve para escrever funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar saber calcular os coeficientes de Fourier: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função se repete a cada intervalo de 4 unidades (de -2 a 2), o período é 4. A metade do período, ou semi-período, é .

Passo 3

O próximo passo é calcular o coeficiente constante , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Substituindo :
Calculando as integrais:

Passo 4

Como , a função não tem termo constante na série de Fourier. Agora, vamos calcular os coeficientes e .
Começando por :
Substituindo :
Observando que a função é ímpar ( ) e o cosseno é par ( ), o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Como e é ímpar, o produto é par. Assim, podemos simplificar:
Calculando a integral:
Simplificando:

Resposta

A expansão em série de Fourier da função é dada por:

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