Determinar a expansão em série de Fourier de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em série de Fourier da função
que é definida assim:
A matéria que vamos usar aqui é a série de Fourier, que serve para escrever funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar saber calcular os coeficientes de Fourier:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função se repete a cada intervalo de 4 unidades (de -2 a 2), o período
é 4. A metade do período, ou semi-período, é
.
Passo 3
O próximo passo é calcular o coeficiente constante
, que representa a média da função no período. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Calculando as integrais:
Passo 4
Como
, a função não tem termo constante na série de Fourier. Agora, vamos calcular os coeficientes
e
.
Começando por
:
Substituindo
:
Observando que a função
é ímpar (
) e o cosseno é par (
), o produto
é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Como
e
é ímpar, o produto
é par. Assim, podemos simplificar:
Calculando a integral:
Simplificando:
Resposta
A expansão em série de Fourier da função
é dada por:
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é ortogonal em
.
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