Verifique se converge a integral imprópria integral1^+infty sin 8 xx^3 d x.

Passo 1

Vamos analisar a integral imprópria integral1^+infty sin 8xx^3 dx para verificar se ela converge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especialmente o teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento da função sin 8x. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin 8x <= 1. Isso significa que:
|sin 8x| <= 1

Passo 3

Agora, vamos considerar o valor absoluto da função dentro da integral:
|sin 8xx^3| <= 1x^3
Isso acontece porque estamos dividindo por x^3, que é positivo para x >= 1.

Passo 4

Em seguida, analisamos a integral comparativa integral1^+infty 1x^3 dx. Sabemos que a integral integral1^+infty 1x^p dx converge se p > 1. No nosso caso, p = 3, que é maior que 1. Portanto, a integral comparativa converge.

Passo 5

Como |sin 8xx^3| <= 1x^3 e a integral integral1^+infty 1x^3 dx converge, pelo teste de comparação, concluímos que a integral original integral1^+infty sin 8xx^3 dx também converge. Além disso, como a integral do valor absoluto converge, dizemos que a integral converge absolutamente.

Resposta

A integral integral1^+infty sin 8xx^3 dx converge.

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