Vamos analisar a integral imprópria para verificar se ela converge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especialmente o teste de comparação.
Passo 2
Primeiro, observamos o comportamento da função . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos considerar o valor absoluto da função dentro da integral:
Isso acontece porque estamos dividindo por x^3, que é positivo para x >= 1.
Passo 4
Em seguida, analisamos a integral comparativa integral1^+infty 1x^3 dx. Sabemos que a integral integral1^+infty 1x^p dx converge se p > 1. No nosso caso, p = 3, que é maior que 1. Portanto, a integral comparativa converge.
Passo 5
Como |sin 8xx^3| <= 1x^3 e a integral integral1^+infty 1x^3 dx converge, pelo teste de comparação, concluímos que a integral original integral1^+infty sin 8xx^3 dx também converge. Além disso, como a integral do valor absoluto converge, dizemos que a integral converge absolutamente.
Resposta
A integral integral1^+infty sin 8xx^3 dx converge.