Verifique se converge a integral imprópria .

Passo 1

Vamos analisar a integral imprópria para verificar se ela converge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especialmente o teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento da função . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos considerar o valor absoluto da função dentro da integral:
Isso acontece porque estamos dividindo por , que é positivo para .

Passo 4

Em seguida, analisamos a integral comparativa . Sabemos que a integral converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a integral comparativa converge.

Passo 5

Como e a integral converge, pelo teste de comparação, concluímos que a integral original também converge. Além disso, como a integral do valor absoluto converge, dizemos que a integral converge absolutamente.

Resposta

A integral converge.

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Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em e a equação da reta tangente em . Faça um esboço da gráfico de cada função.
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