Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em e a equação da reta tangente em . Faça um esboço da gráfico de cada função.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função em um ponto geral , além de determinar a equação da reta tangente especificamente no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas, que nos permitem calcular a inclinação de uma curva em qualquer ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a , ou seja, o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto .
A função dada é:
Aplicando as regras de derivação:
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto geral , substituímos por na derivada:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em é .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a equação da reta tangente no ponto específico .
Primeiro, calculamos :
Então, o ponto é .
Agora, encontramos o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto:
Portanto, a inclinação da reta tangente em é 16.

Passo 5

Com o coeficiente angular e o ponto , podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente em é:

Passo 6

Por fim, para fazer um esboço do gráfico da função , observamos que é uma parábola com concavidade para cima (já que o coeficiente de é positivo).
Os pontos importantes são:
  • Vértice: Podemos encontrar o vértice da parábola usando a fórmula , onde e :
Calculando :
Então, o vértice é .
  • Interseção com o eixo Y: Quando :
Então, a interseção com o eixo Y é .
  • Interseções com o eixo X: Resolva :
Então, as interseções com o eixo X são e .
Com esses pontos, podemos desenhar uma parábola que passa por , , e tem seu vértice em .

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto geral é . Especificamente, a reta tangente no ponto tem a equação:

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Verifique se converge a integral imprópria .
Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções:
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