Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
e a equação da reta tangente em
. Faça um esboço da gráfico de cada função.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
em um ponto geral
, além de determinar a equação da reta tangente especificamente no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas, que nos permitem calcular a inclinação de uma curva em qualquer ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
, ou seja, o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto
.
A função dada é:
Aplicando as regras de derivação:
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto geral
, substituímos
por
na derivada:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a equação da reta tangente no ponto específico
.
Primeiro, calculamos
:
Então, o ponto é
.
Agora, encontramos o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto:
Portanto, a inclinação da reta tangente em
é 16.
Passo 5
Com o coeficiente angular
e o ponto
, podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente em
é:
Passo 6
Por fim, para fazer um esboço do gráfico da função
, observamos que é uma parábola com concavidade para cima (já que o coeficiente de
é positivo).
Os pontos importantes são:
- Vértice: Podemos encontrar o vértice da parábola usando a fórmula
, onde e :
Calculando
:
Então, o vértice é
.
- Interseção com o eixo Y: Quando
:
Então, a interseção com o eixo Y é
.
- Interseções com o eixo X: Resolva
:
Então, as interseções com o eixo X são
e
.
Com esses pontos, podemos desenhar uma parábola que passa por
,
, e tem seu vértice em
.
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à curva
no ponto geral
é
. Especificamente, a reta tangente no ponto
tem a equação:
Exercícios relacionados
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
e a equação da reta tangente em
. Faça um esboço da gráfico de cada função.
Verifique se converge a integral imprópria
.
Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções:
Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções: