Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
e a equação da reta tangente em
. Faça um esboço da gráfico de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
e especificamente no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. As derivadas nos ajudam a encontrar a inclinação das tangentes em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação à variável
. Para
, a derivada
é calculada da seguinte forma:
Então, a derivada de
é
.
Passo 3
Agora que temos a derivada, podemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto
. O coeficiente angular é simplesmente o valor da derivada no ponto
. Assim:
Então, o coeficiente angular da reta tangente em
é
.
Passo 4
Vamos agora encontrar a equação da reta tangente no ponto
. Primeiro, calculamos
:
Então, o ponto
é
.
Passo 5
Em seguida, calculamos o coeficiente angular no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da equação da reta tangente, que é:
Substituindo
,
e
, temos:
Distribuindo o 12:
Finalmente, isolando
:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente à função
no ponto
é
. A equação da reta tangente no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Verifique se converge a integral imprópria
.
Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
e a equação da reta tangente em
. Faça um esboço da gráfico de cada função.
Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções: