Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em e a equação da reta tangente em . Faça um esboço da gráfico de cada função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto e especificamente no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. As derivadas nos ajudam a encontrar a inclinação das tangentes em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação à variável . Para , a derivada é calculada da seguinte forma:
Então, a derivada de é .

Passo 3

Agora que temos a derivada, podemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto . O coeficiente angular é simplesmente o valor da derivada no ponto . Assim:
Então, o coeficiente angular da reta tangente em é .

Passo 4

Vamos agora encontrar a equação da reta tangente no ponto . Primeiro, calculamos :
Então, o ponto é .

Passo 5

Em seguida, calculamos o coeficiente angular no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente em é .

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da equação da reta tangente, que é:
Substituindo , e , temos:
Distribuindo o 12:
Finalmente, isolando :

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente à função no ponto é . A equação da reta tangente no ponto é .

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