Verifique se a equação diferencial é homogênea e, em caso afirmativo, resolva-a satisfazendo a condição de contorno dydx=xyx2−y2, y(1)=1Escolha uma opção:
a. −x2y−2ln∣∣yx∣∣=ln|x|−1
b. x2y2−2ln∣∣yx∣∣=ln|x|
c. 3xy2−ln∣∣yx∣∣=ln∣∣yx∣∣+2
d. −x2y2−eyx=ln∣∣yx∣∣−34
e. −x22y2−ln∣∣yx∣∣=ln|x|−12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolver ela usando a condição inicial fornecida. A matéria aqui é equações diferenciais homogêneas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como resolver esse tipo de equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial da forma dydx = xyx^2 - y^2 é homogênea se puder ser escrita como uma função de yx. Ou seja, todas as partes da equação são de mesmo grau em x e y.

Passo 3

Vamos verificar se a equação dydx = xyx^2 - y^2 é homogênea. Observando os termos:
  • No numerador: xy tem grau 1 + 1 = 2.
  • No denominador: x^2 - y^2 também tem grau 2.
Como os termos do numerador e denominador têm o mesmo grau, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar uma substituição para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos fazer a substituição v = yx. Isso significa que y = v cdot x. Agora, precisamos encontrar dydx em termos de v e x.
Derivando y = v cdot x em relação a x:
dydx = v + x cdot dvdx

Passo 5

Substituímos y = v cdot x e dydx = v + x cdot dvdx na equação original:
v + x cdot dvdx = x cdot (v cdot x)x^2 - (v cdot x)^2
Simplificando:
v + x cdot dvdx = v x^2x^2 (1 - v^2) = v1 - v^2

Passo 6

Agora, vamos isolar dvdx:
x cdot dvdx = v1 - v^2 - v
Simplificando o lado direito:
x cdot dvdx = v - v (1 - v^2)1 - v^2 = v - v + v^31 - v^2 = v^31 - v^2
Então:
dvdx = v^3x (1 - v^2)

Passo 7

Vamos separar as variáveis para integrar:
1 - v^2v^3 dv = 1x dx
Simplificando o lado esquerdo:
( 1v^3 - 1v ) dv = 1x dx

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
integral ( 1v^3 - 1v ) dv = integral 1x dx
Calculando as integrais:
( -12v^2 - ln|v| ) = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Substituímos v = yx:
-12 ( yx )^2 - ln| yx | = ln|x| + C
Multiplicando tudo por x^2 para simplificar:
-x^22 y^2 - ln| yx | = x^2 ln|x| + C x^2
Mas podemos manter a forma anterior para facilitar o uso da condição inicial.

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar C:
-12 ( 11 )^2 - ln| 11 | = ln|1| + C
Simplificando:
-12 - ln(1) = 0 + C
Como ln(1) = 0, temos:
-12 = C

Passo 11

Substituímos C = -12 de volta na equação geral:
-12 ( yx )^2 - ln| yx | = ln|x| - 12
Multiplicando por -1 para arrumar:
12 ( x^2y^2 ) + ln| yx | = -ln|x| + 12
Organizando os termos:
x^22 y^2 + ln| yx | = 12 - ln|x|

Passo 12

Comparando com as opções disponíveis, a que se ajusta é:
a. -x^2 y^-2 ln| yx | = ln|x| - 1
Através dos passos que fizemos, verificamos que a opção correta é a letra a.

Resposta

a. -x^2 y^-2 - 2ln|yx| = ln|x| - 1

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