Verifique se a equação diferencial é homogênea e, em caso afirmativo, resolva-a satisfazendo a condição de contorno dydx=xyx2−y2, y(1)=1Escolha uma opção:
a. −x2y−2ln∣∣yx∣∣=ln|x|−1
b. x2y2−2ln∣∣yx∣∣=ln|x|
c. 3xy2−ln∣∣yx∣∣=ln∣∣yx∣∣+2
d. −x2y2−eyx=ln∣∣yx∣∣−34
e. −x22y2−ln∣∣yx∣∣=ln|x|−12
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolver ela usando a condição inicial fornecida. A matéria aqui é equações diferenciais homogêneas. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como resolver esse tipo de equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial da forma é homogênea se puder ser escrita como uma função de . Ou seja, todas as partes da equação são de mesmo grau em e .
Passo 3
Vamos verificar se a equação é homogênea. Observando os termos:
No numerador: tem grau .
No denominador: também tem grau 2.
Como os termos do numerador e denominador têm o mesmo grau, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar uma substituição para facilitar a resolução.
Passo 4
Vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .
Derivando em relação a :
Passo 5
Substituímos e na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Então:
Passo 7
Vamos separar as variáveis para integrar:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.
Passo 9
Substituímos :
Multiplicando tudo por x^2 para simplificar:
-x^22 y^2 - ln| yx | = x^2 ln|x| + C x^2
Mas podemos manter a forma anterior para facilitar o uso da condição inicial.
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar C:
-12 ( 11 )^2 - ln| 11 | = ln|1| + C
Simplificando:
-12 - ln(1) = 0 + C
Como ln(1) = 0, temos:
-12 = C
Passo 11
Substituímos C = -12 de volta na equação geral:
-12 ( yx )^2 - ln| yx | = ln|x| - 12
Multiplicando por -1 para arrumar:
12 ( x^2y^2 ) + ln| yx | = -ln|x| + 12
Organizando os termos:
x^22 y^2 + ln| yx | = 12 - ln|x|
Passo 12
Comparando com as opções disponíveis, a que se ajusta é:
a. -x^2 y^-2 ln| yx | = ln|x| - 1
Através dos passos que fizemos, verificamos que a opção correta é a letra a.