Verifique se o escoamento descrito por
V(x, y, z)=x^2 imath+(x+z) jmath-2 x z widehatk
é compressível ou incompressível.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o escoamento descrito pela função vetorial é compressível ou incompressível. Isso está dentro da matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente sobre propriedades dos campos de velocidade. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de divergência, que vai nos ajudar a determinar se o fluxo é compressível ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser incompressível. Um fluxo é chamado de incompressível quando a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo. Matematicamente, isso se traduz na condição de que a divergência do campo de velocidade seja igual a zero:
nabla cdot V = 0
Então, nosso objetivo é calcular a divergência de e verificar se ela é igual a zero.

Passo 3

A divergência de um campo vetorial nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z é dada por:
partialpartial x(x^2) = 2x
Vamos identificar cada componente do nosso campo de velocidade:
  • Vy = x + z
  • partialpartial y(x + z) = 0
  • Vz = -2xz
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partialpartial z(-2xz) = -2x :
  1. :
Observamos que não depende de , então:
  1. :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos somar as derivadas parciais que calculamos para obter a divergência:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z = 2x + 0 + (-2x) = 0

Resposta

Como a divergência do campo de velocidade é zero ( ), concluímos que o escoamento descrito por é incompressível.

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