Verifique se o escoamento descrito por
é compressível ou incompressível.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o escoamento descrito pela função vetorial é compressível ou incompressível. Isso está dentro da matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente sobre propriedades dos campos de velocidade. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de divergência, que vai nos ajudar a determinar se o fluxo é compressível ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser incompressível. Um fluxo é chamado de incompressível quando a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo. Matematicamente, isso se traduz na condição de que a divergência do campo de velocidade seja igual a zero:
Então, nosso objetivo é calcular a divergência de e verificar se ela é igual a zero.

Passo 3

A divergência de um campo vetorial é dada por:
Vamos identificar cada componente do nosso campo de velocidade:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. :
  1. :
Observamos que não depende de , então:
  1. :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos somar as derivadas parciais que calculamos para obter a divergência:

Resposta

Como a divergência do campo de velocidade é zero ( ), concluímos que o escoamento descrito por é incompressível.

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Para cada afirmativa a seguir determine se é verdadeira ou falsa.
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