Verifique se o escoamento descrito por
é compressível ou incompressível.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se o escoamento descrito pela função vetorial
é compressível ou incompressível. Isso está dentro da matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente sobre propriedades dos campos de velocidade. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de divergência, que vai nos ajudar a determinar se o fluxo é compressível ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser incompressível. Um fluxo é chamado de incompressível quando a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo. Matematicamente, isso se traduz na condição de que a divergência do campo de velocidade seja igual a zero:
Então, nosso objetivo é calcular a divergência de
e verificar se ela é igual a zero.
Passo 3
A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Vamos identificar cada componente do nosso campo de velocidade:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
-
:
-
:
Observamos que
não depende de
, então:
-
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos somar as derivadas parciais que calculamos para obter a divergência:
Resposta
Como a divergência do campo de velocidade é zero (
), concluímos que o escoamento descrito por
é incompressível.