Escreva a equação diferencial mais simplificada para os casos de transferência de calor:
b) esférica permanente com k= cte e sem geração de calor.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação diferencial que descreve a transferência de calor em um sistema esférico em estado permanente (ou seja, sem variação no tempo), com a condutividade térmica ( k) constante e sem geração de calor dentro da esfera. Isso envolve conceitos de condução de calor e esfericidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que o fluxo de calor ( q) é proporcional ao gradiente da temperatura ( nabla T):
q = -k nabla T
No caso esférico, precisamos expressar esse gradiente em coordenadas esféricas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, assumindo simetria esférica (ou seja, a temperatura só depende da distância radial r), a equação de condução de calor em estado permanente sem geração de calor fica:
1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0
Vamos derivar isso passo a passo.

Passo 4

Começamos com a equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas:
1r^2 ddr ( r^2 qr ) + dotQ = 0
Como não há geração de calor ( dotQ = 0) e qr = -k dTdr, substituímos na equação:
1r^2 ddr ( -k r^2 dTdr ) = 0

Passo 5

Como k é constante, podemos tirar ela da derivada:
-k 1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0
Dividindo ambos os lados por -k (que não é zero), simplificamos para:
1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0

Resposta

A equação diferencial mais simplificada para transferência de calor esférica em estado permanente com k constante e sem geração de calor é:
1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0

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