Escreva a equação diferencial mais simplificada para os casos de transferência de calor:
b) esférica permanente com cte e sem geração de calor.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação diferencial que descreve a transferência de calor em um sistema esférico em estado permanente (ou seja, sem variação no tempo), com a condutividade térmica ( ) constante e sem geração de calor dentro da esfera. Isso envolve conceitos de condução de calor e esfericidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que o fluxo de calor ( ) é proporcional ao gradiente da temperatura ( ):
No caso esférico, precisamos expressar esse gradiente em coordenadas esféricas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, assumindo simetria esférica (ou seja, a temperatura só depende da distância radial ), a equação de condução de calor em estado permanente sem geração de calor fica:
Vamos derivar isso passo a passo.

Passo 4

Começamos com a equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas:
Como não há geração de calor ( ) e , substituímos na equação:

Passo 5

Como é constante, podemos tirar ela da derivada:
Dividindo ambos os lados por (que não é zero), simplificamos para:

Resposta

A equação diferencial mais simplificada para transferência de calor esférica em estado permanente com constante e sem geração de calor é:

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A diferença de temperatura em uma parede de um frigorífico é de . Sabendo que atravessam a parede de espessura 80 cm determine a condutividade térmica supondo a parede homogênea.
Uma parede é composta por duas camadas de madeira compensada de espessura 4 cm e preenchida por espuma de espessura de 12 cm e . Os coeficientes convectivos de ambos os lados são aproximadamente . A parede separa um ambiente cujo a temperatura do ar é de de outro onde a temperatura do ar é de . Calcule a taxa de calor transferida por metro quadrado.
Verifique se o escoamento descrito por
é compressível ou incompressível.