Escreva a equação diferencial mais simplificada para os casos de transferência de calor:
b) esférica permanente com
cte e sem geração de calor.
b) esférica permanente com
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação diferencial que descreve a transferência de calor em um sistema esférico em estado permanente (ou seja, sem variação no tempo), com a condutividade térmica (
) constante e sem geração de calor dentro da esfera. Isso envolve conceitos de condução de calor e esfericidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que o fluxo de calor (
) é proporcional ao gradiente da temperatura (
):
No caso esférico, precisamos expressar esse gradiente em coordenadas esféricas.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, assumindo simetria esférica (ou seja, a temperatura só depende da distância radial
), a equação de condução de calor em estado permanente sem geração de calor fica:
Vamos derivar isso passo a passo.
Passo 4
Começamos com a equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas:
Como não há geração de calor (
) e
, substituímos na equação:
Passo 5
Como
é constante, podemos tirar ela da derivada:
Dividindo ambos os lados por
(que não é zero), simplificamos para:
Resposta
A equação diferencial mais simplificada para transferência de calor esférica em estado permanente com
constante e sem geração de calor é: