Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( c1 e c2 são constantes).
(i) 2 y^prime+y=0 ; y=e^-x / 2
(ii) y^prime+4 y=32 ; y=8
(iii) d yd x-2 y=e^3 x ; y=e^3 x+10 e^2 x
(iv) d yd t+20 y=24 ; y=65-65 e^-20 t
(v) y^prime=25+y^2 ; y=tan 5 x
(vi) d yd x=raizyx
y=(raizx+c1)^2, x>0, c1>0
(vii) y^prime+y=sen x
y=12 sen x-12 cos x+10 e^-x
(viii) 2 x y d x+(x^2+2 y) d y=0; x^2 y+y^2=c1
(ix) x^2 d y+2 x y d x=0 ; y=-1x^2
(x) (y^prime)^3+x y^prime=y ; y=x+1
(xi) y=2 x y^prime+y(y^prime)^2;
y=c1(x+14 c1)
(xii) y^prime=2 raiz|y| ; y=x|x|
(xiii) y^prime-1x y=1 ; y=x ln x, x>0
(xiv) d Pd t=P(a-b P) ; P=a c1 e^a t1+b c1 e^a t
(xv) d Xd t=(2-X)(1-X);
ln (2-X1-X)=t
(xvi) y^prime+2 x y=1 ; y=e^-x^2 integral0^x e^t^2 d t+c1 e^-x^2
(xvii) (x^2+y^2) d x+(x^2-x y) d y=0;
c1(x+y)^2=x e^y / x
(xviii) y^prime prime+y^prime-12 y=0 ; y=c1 e^3 x+c2 e^-4 x
(xix) y^prime prime-6 y^prime+13 y=0 ; y=e^3 x cos 2 x
(xx) d^2 yd x^2-4 d yd x+4 y=0 ; y=e^2 x+x e^2 x
(xxi) y^prime prime+25 y=0 ; y=c1 cos 5 x
(xxii) y^prime prime+(y^prime)^2=0 ; y=ln |x+c1|+c2
(xxiii) y^prime prime+y=tan x
y=-cos x ln (sec x+tan x)
(xxiv) x d^2 yd x^2+2 d yd x=0 ; y=c1+c2 x^-1
(xxv) x^2 y^prime prime-x y^prime+2 y=0
y=x cos (ln x), x>0
(xxvi) x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0
y=x^2+x^2 ln x, x>0
(xxvii) y^prime prime prime-y^prime prime+9 y^prime-9 y=0;
y=c1 sen 3 x+c2 cos 3 x+4 e^x
(xxviii) y^prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=0 ; y=x^2 e^x
(xxix) x^3 d^3 yd x^3+2 x^2 d^2 yd x^2-x d yd x+y=12 x^2;
y=c1 x+c2 x ln x+4 x^2, x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial e a função . Nosso objetivo é verificar se essa função realmente resolve a equação. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de e substituir na equação para ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y = e^-x/2 em relação a y' = ddx e^-x/2 = -12 e^-x/2 :
A derivada de é:

Passo 3

Agora, substituímos 2 y' + y = 2 (-12 e^-x/2) + e^-x/2 e 2 (-12 e^-x/2) = - e^-x/2 na equação diferencial original:
- e^-x/2 + e^-x/2 = 0
Vamos simplificar:
Então:

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação diferencial . Portanto, é uma solução válida.

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