Prove que se , então, ,

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial que é igual ao gradiente de uma função , ou seja, . A tarefa é provar que o rotacional de , representado por , é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de gradiente e rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e é dado por:
Então, se , isso significa que as componentes de são as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou , mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas, o rotacional de é dado por:

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de , sabendo que .
As componentes de são:
Substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 5

Observamos que as derivadas parciais mistas de são iguais, ou seja:
Isso acontece por causa do Teorema de Schwarz, que diz que, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, a ordem de diferenciação pode ser trocada.

Passo 6

Como todas as diferenças no rotacional de são iguais a zero, temos:

Resposta

Concluímos que, se , então .

Exercícios relacionados

(a) Quais são as grandezas dadas no problema?
Seja um campo vetorial em . Justifique a igualdade onde , e .
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( e são constantes).
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

(vii)

(viii) ;
(ix)
(x)
(xi) ;

(xii)
(xiii)
(xiv)
(xv) ;

(xvi)
(xvii) ;

(xviii)
(xix)
(xx)
(xxi)
(xxii)
(xxiii)

(xxiv)


(xxvi)

(xxvii) ;

(xxviii)
(xxix) ;
Uma partícula move-se no plano de modo que no instante sua posição é dada por . Calcule o trabalho realizado pelo campo y) no deslocamento da partícula de até . Resolva de duas maneiras diferentes.