Prove que se
, então,
,
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
que é igual ao gradiente de uma função
, ou seja,
. A tarefa é provar que o rotacional de
, representado por
, é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de gradiente e rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e é dado por:
Então, se
, isso significa que as componentes de
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou
, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas, o rotacional de
é dado por:
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
, sabendo que
.
As componentes de
são:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 5
Observamos que as derivadas parciais mistas de
são iguais, ou seja:
Isso acontece por causa do Teorema de Schwarz, que diz que, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, a ordem de diferenciação pode ser trocada.
Passo 6
Como todas as diferenças no rotacional de
são iguais a zero, temos:
Resposta
Concluímos que, se
, então
.