Uma partícula move-se no plano de modo que no instante
sua posição é dada por
. Calcule o trabalho realizado pelo campo
y) no deslocamento da partícula de
até
. Resolva de duas maneiras diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos fala sobre uma partícula que se move no plano seguindo a trajetória
no instante
. Queremos calcular o trabalho realizado por um campo de força
quando a partícula se desloca de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o trabalho como integral de linha, e também verificar se o campo é conservativo para usar uma segunda abordagem.
Passo 2
Primeira Maneira: Usando a Integral de Linha Direta
Primeiro, vamos calcular o trabalho usando a definição direta da integral de linha. O trabalho
é dado por:
Aqui,
é o caminho que a partícula percorre, que no nosso caso é
para
de 0 a 1.
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho
com
. Temos:
Agora, precisamos encontrar
, que é o vetor tangente ao caminho:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na função
:
Então, o produto escalar
fica:
Passo 5
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos calcular cada termo:
Passo 6
Avaliar as integrais de 0 a 1:
Passo 7
Segunda Maneira: Verificando se o Campo é Conservativo
Agora, vamos ver se o campo
é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que:
Para isso, devemos verificar se as condições de conservatividade são satisfeitas.
Passo 8
Primeiro, identificamos as componentes de
:
Para que
seja conservativo, a condição necessária é que:
Calculando:
Como são iguais, o campo
é conservativo.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica:
Então, a função potencial é:
Passo 10
Finalmente, o trabalho
é a diferença da função potencial nos pontos finais:
Calculando
e
:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo
no deslocamento da partícula de
até
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (
e
são constantes).
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii) ;
(ix)
(x)
(xi) ;
(xii)
(xiii)
(xiv)
(xv) ;
(xvi)
(xvii) ;
(xviii)
(xix)
(xx)
(xxi)
(xxii)
(xxiii)
(xxiv)
(xxvi)
(xxvii) ;
(xxviii)
(xxix) ;
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
(xiii)
(xiv)
(xv)
(xvi)
(xvii)
(xviii)
(xix)
(xx)
(xxi)
(xxii)
(xxiii)
(xxiv)
(xxvi)
(xxvii)
(xxviii)
(xxix)
Prove que se
, então,
,
Considere a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
e
. Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis:
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)