Uma partícula move-se no plano de modo que no instante sua posição é dada por . Calcule o trabalho realizado pelo campo y) no deslocamento da partícula de até . Resolva de duas maneiras diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos fala sobre uma partícula que se move no plano seguindo a trajetória no instante . Queremos calcular o trabalho realizado por um campo de força quando a partícula se desloca de até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o trabalho como integral de linha, e também verificar se o campo é conservativo para usar uma segunda abordagem.

Passo 2

Primeira Maneira: Usando a Integral de Linha Direta
Primeiro, vamos calcular o trabalho usando a definição direta da integral de linha. O trabalho é dado por:
Aqui, é o caminho que a partícula percorre, que no nosso caso é para de 0 a 1.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho com . Temos:
Agora, precisamos encontrar , que é o vetor tangente ao caminho:

Passo 4

Agora, substituímos e na função :
Então, o produto escalar fica:

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos calcular cada termo:

Passo 6

Avaliar as integrais de 0 a 1:

Passo 7

Segunda Maneira: Verificando se o Campo é Conservativo
Agora, vamos ver se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que:
Para isso, devemos verificar se as condições de conservatividade são satisfeitas.

Passo 8

Primeiro, identificamos as componentes de :
Para que seja conservativo, a condição necessária é que:
Calculando:
Como são iguais, o campo é conservativo.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a função potencial . Integrando em relação a :
Onde é uma função de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica:
Então, a função potencial é:

Passo 10

Finalmente, o trabalho é a diferença da função potencial nos pontos finais:
Calculando e :
Então:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo no deslocamento da partícula de até é igual a 1.

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Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial ( e são constantes).
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

(vii)

(viii) ;
(ix)
(x)
(xi) ;

(xii)
(xiii)
(xiv)
(xv) ;

(xvi)
(xvii) ;

(xviii)
(xix)
(xx)
(xxi)
(xxii)
(xxiii)

(xxiv)


(xxvi)

(xxvii) ;

(xxviii)
(xxix) ;
Prove que se , então, ,
Considere a integral dupla
onde é a região limitada pelas retas e . Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: .
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(b)
©
(d)