Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição é dada por gamma(t) = (t, t^2). Calcule o trabalho realizado pelo campo F(x, y) = (x + y, x - y) no deslocamento da partícula de gamma(0) até gamma(1). Resolva de duas maneiras diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos fala sobre uma partícula que se move no plano seguindo a trajetória no instante . Queremos calcular o trabalho realizado por um campo de força quando a partícula se desloca de até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o trabalho como integral de linha, e também verificar se o campo é conservativo para usar uma segunda abordagem.

Passo 2

Primeira Maneira: Usando a Integral de Linha Direta
Primeiro, vamos calcular o trabalho usando a definição direta da integral de linha. O trabalho é dado por:
Aqui, é o caminho que a partícula percorre, que no nosso caso é para de 0 a 1.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho com . Temos:
Agora, precisamos encontrar , que é o vetor tangente ao caminho:

Passo 4

Agora, substituímos e na função :
Então, o produto escalar fica:

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos calcular cada termo:

Passo 6

Avaliar as integrais de 0 a 1:

Passo 7

Segunda Maneira: Verificando se o Campo é Conservativo
Agora, vamos ver se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que:
Para isso, devemos verificar se as condições de conservatividade são satisfeitas.

Passo 8

Primeiro, identificamos as componentes de :
Para que seja conservativo, a condição necessária é que:
Calculando:
Como são iguais, o campo é conservativo.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a função potencial . Integrando em relação a :
Onde é uma função de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica:
Então, a função potencial é:

Passo 10

Finalmente, o trabalho é a diferença da função potencial nos pontos finais:
Calculando e :
Então:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo no deslocamento da partícula de até é igual a 1.

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