Verifique que e determine se:
(b) e g(u) = u^2, u pertence a R,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas funções, e . Precisamos verificar se a imagem de está contida no domínio de , ou seja, se todo valor que pode assumir também está dentro do conjunto onde está definida. Depois, vamos determinar a função composta , que significa aplicar primeiro e depois no resultado de .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
Imagem de uma função: É o conjunto de todos os valores que a função pode produzir.
Domínio de uma função: É o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função está definida.
Função composta: É a aplicação de uma função dentro da outra, ou seja, .
Passo 2
Vamos começar encontrando a imagem de . A função está definida por partes:
Vamos analisar cada parte:
Para :
Como , será positivo. À medida que se aproxima de , cresce sem limites. Então, para , varia de a .
Para :
O menor valor de é quando , e o máximo é quando . Então, nessa faixa, varia de a .
Para :
Aqui, será negativo, e à medida que aumenta, diminui sem limites. Então, para , varia de a .
Resumindo a imagem de :
Passo 3
Agora, vamos identificar o domínio de . A função está definida por:
Isso significa que está definida para todos os números reais. Portanto:
Passo 4
Vamos verificar se a imagem de está contida no domínio de . Sabemos que:
Como é todo o conjunto dos números reais, naturalmente, qualquer subconjunto, incluindo , está contido em . Portanto:
Passo 5
Agora, vamos determinar a função composta , que significa .