são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e definimos duas novas funções chamadas cosseno hiperbólico () e seno hiperbólico (). A matéria envolvida aqui é a trigonometria hiperbólica, que é semelhante à trigonometria comum, mas usa funções exponenciais. Para resolver as identidades, vamos precisar das definições de e e das propriedades das potências de números.
Passo 2
Vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas fornecidas:
Essas funções combinam e de maneiras específicas.
Passo 3
Agora, vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
Portanto:
Passo 4
Vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos subtrair de :
Simplificando a expressão:
Passo 6
Já provamos a primeira identidade:
Agora, vamos provar a segunda identidade: . Primeiro, precisamos lembrar que a tangente hiperbólica () é definida como:
Passo 7
Calculando :
Já sabemos que:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos calcular :
Observando que:
Portanto:
Isso mostra que:
Parece que houve um pequeno erro na identidade proposta. A identidade correta é: