Se f(x) = e^x as funções
cosh(x) = 1/2[f(x) + f(-x)] e senh(x) = 1/2[f(x) - f(-x)]
são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:
cosh(x)^2 - senh(x)^2 = 1 1 - tagh(x)^2 = cosh(x)^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e definimos duas novas funções chamadas cosseno hiperbólico ( ) e seno hiperbólico (). A matéria envolvida aqui é a trigonometria hiperbólica, que é semelhante à trigonometria comum, mas usa funções exponenciais. Para resolver as identidades, vamos precisar das definições de e e das propriedades das potências de números.

Passo 2

Vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas fornecidas:
Essas funções combinam e de maneiras específicas.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
Portanto:

Passo 4

Vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos subtrair de :
Simplificando a expressão:

Passo 6

Já provamos a primeira identidade:
Agora, vamos provar a segunda identidade: . Primeiro, precisamos lembrar que a tangente hiperbólica ( ) é definida como:

Passo 7

Calculando :
Já sabemos que:
Portanto:

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Observando que:
Portanto:
Isso mostra que:
Parece que houve um pequeno erro na identidade proposta. A identidade correta é:
Onde .

Resposta

Assim, demonstramos que:

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