• Verifique se P2(R) é gerado por S=1+x, x+2 x^2, 1-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto gera o espaço . Aqui, representa todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto gerar um espaço vetorial. Um conjunto de vetores (ou polinômios, neste caso) gera um espaço vetorial se qualquer elemento desse espaço puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, queremos ver se qualquer polinômio c1(1 + x) + c2(x + 2x^2) + c3(1 - x^2) = a + bx + cx^2 de pode ser expresso como:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
c1(1) + c1(x) + c2(x) + c2(2x^2) + c3(1) + c3(-x^2) = a + bx + cx^2
Simplificando:
(c1 + c3) + (c1 + c2)x + (2c2 - c3)x^2 = a + bx + cx^2

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes correspondentes dos polinômios de ambos os lados:
c1 + c3 = a (coeficiente constante) c1 + c2 = b (coeficiente de x) 2c2 - c3 = c (coeficiente de x^2)

Passo 5

Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 2 & -1 c1 c2 c3 = a b c ). Para verificar se sempre é possível resolver esse sistema para qualquer , podemos representar o sistema em forma matricial:

[


]

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para ver se o sistema tem uma solução única:
Determinante = 1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 2) - 0 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 0) = (-1) + 0 + 2 = 1
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que o sistema tem uma solução única para qualquer .

Resposta

Sim, o conjunto gera .

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