Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboçar a parábola cuja equação é
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre parábolas, especificamente como identificar suas características principais a partir da equação geral. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e então identificar os elementos solicitados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para facilitar a identificação das características da parábola. A equação é:
Nossa meta é isolarmos o
para conseguir colocar a equação na forma padrão. Vamos começar movendo o termo constante para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos dividir todos os termos por 3 para simplificar a equação:
Passo 4
Para deixar a equação na forma padrão da parábola, precisamos completar o quadrado. O objetivo é transformar a parte esquerda da equação em um quadrado perfeito.
O método para completar o quadrado é adicionar e subtrair
, onde
é o coeficiente de
. Aqui,
, então:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Passo 5
Agora, a parte esquerda da equação se torna um quadrado perfeito:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Podemos reescrever a equação para evidenciar a forma padrão da parábola. A forma padrão para uma parábola que abre para a direita ou esquerda é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos escrever:
Então, identificamos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o valor de
:
Passo 8
Com esses valores, podemos determinar:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
Resposta
A parábola
tem as seguintes características:
- Vértice:
- Foco:
- Equação da diretriz:
A parábola abre para a direita, com o vértice no ponto
, o foco à direita do vértice e a diretriz sendo uma linha vertical à esquerda do vértice.