Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: 3 y^2+7 y-6=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboçar a parábola cuja equação é . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre parábolas, especificamente como identificar suas características principais a partir da equação geral. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e então identificar os elementos solicitados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para facilitar a identificação das características da parábola. A equação é:
3 y^2 + 7 y - 6 = 0
Nossa meta é isolarmos o 3 y^2 + 7 y = 6 para conseguir colocar a equação na forma padrão. Vamos começar movendo o termo constante para o outro lado:

Passo 3

Agora, vamos dividir todos os termos por 3 para simplificar a equação:
y^2 + 73 y = 2

Passo 4

Para deixar a equação na forma padrão da parábola, precisamos completar o quadrado. O objetivo é transformar a parte esquerda da equação em um quadrado perfeito.
O método para completar o quadrado é adicionar e subtrair (76)^2 = 4936, onde y^2 + 73 y + 4936 = 2 + 4936 é o coeficiente de . Aqui, , então:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:

Passo 5

Agora, a parte esquerda da equação se torna um quadrado perfeito:
(y + 76)^2 = 7236 + 4936
Simplificando o lado direito:
(y + 76)^2 = 12136

Passo 6

Podemos reescrever a equação para evidenciar a forma padrão da parábola. A forma padrão para uma parábola que abre para a direita ou esquerda é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Comparando com a nossa equação:
(y + 76)^2 = 12136
Podemos escrever:
(y - (-76))^2 = 12136(x - 0)
Então, identificamos:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor de 4p = 12136:
p = 12136 div 4 = 121144

Passo 8

Com esses valores, podemos determinar:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

Resposta

A parábola tem as seguintes características:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:
A parábola abre para a direita, com o vértice no ponto , o foco à direita do vértice e a diretriz sendo uma linha vertical à esquerda do vértice.

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