Calcule determinante
(e) |cccc1 & -2 & 3 & -1 1 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 4 & -5 1 & 4 & 4 & -6|

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4 que você me passou. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos usar a expansão por cofatores, que envolve calcular determinantes de submatrizes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível.

Passo 3

Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha da matriz. Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somar tudo. A fórmula geral para uma matriz 4x4 é:
det(A) = a11C11 - a12C12 + a13C13 - a14C14
onde é o cofator do elemento na posição .

Passo 4

Vamos identificar os elementos da primeira linha da sua matriz:
cccc 1 & -2 & 3 & -1 1 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 4 & -5 1 & 4 & 4 & -6
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada cofator 1 & -2 & 0 0 & 4 & -5 4 & 4 & -6 . Para isso, removemos a primeira linha e a coluna correspondente a cada elemento e calculamos o determinante da submatriz 3x3 resultante.

Cofator 1 times (4 times (-6) - (-5) times 4) - (-2) times (0 times (-6) - (-5) times 4) + 0 times (0 times 4 - 4 times 4) = 1 times (-24 + 20) - (-2) times (0 + 20) + 0 = -4 + 40 + 0 = 36 :

Removendo a primeira linha e primeira coluna:
1 & -2 & 0 2 & 4 & -5 1 & 4 & -6
Calculando o determinante dessa submatriz:
1 times (4 times (-6) - (-5) times 4) - (-2) times (2 times (-6) - (-5) times 1) + 0 times (2 times 4 - 4 times 1) = 1 times (-24 + 20) - (-2) times (-12 + 5) + 0 = -4 -14 + 0 = -18
Então, 1 & 1 & 0 2 & 0 & -5 1 & 4 & -6 .

Cofator 1 times (0 times (-6) - (-5) times 4) - 1 times (2 times (-6) - (-5) times 1) + 0 times (2 times 4 - 0 times 1) = 1 times (0 + 20) - 1 times (-12 + 5) + 0 = 20 - (-7) + 0 = 27 :

Removendo a primeira linha e segunda coluna:
1 & 1 & -2 2 & 0 & 4 1 & 4 & 4
Calculando o determinante dessa submatriz:
1 times (0 times 4 - 4 times 4) - 1 times (2 times 4 - 4 times 1) - 2 times (2 times 4 - 0 times 1) = 1 times (0 - 16) - 1 times (8 - 4) - 2 times (8 - 0) = -16 -4 -16 = -36
Então, .

Cofator :

Removendo a primeira linha e terceira coluna:
Calculando o determinante dessa submatriz:
Então, .

Cofator :

Removendo a primeira linha e quarta coluna:
Calculando o determinante dessa submatriz:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos colocar tudo na fórmula do determinante:
det(A) = 1 times 36 - (-2) times (-18) + 3 times 27 -1 times (-36)
Calculando cada termo:
= 36 - 36 + 81 + 36 = 117

Resposta

O determinante da matriz é 117.

Exercícios relacionados