Verifique que os pontos P=(2,5), Q=(8,-1) e R=(-2,1) são vértices de um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos verificar se os pontos $ P=(2,5) $, $ Q=(8,-1) $ e $ R=(-2,1) $ formam um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras, que nos ajuda a identificar ângulos retos.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a distância entre cada par de pontos para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
(x1, y1)

Passo 3

Vamos calcular a distância entre $ P $ e $ Q $:
P

Passo 4

Agora, a distância entre $ Q $ e $ R $:
Q

Passo 5

Por último, a distância entre $ R $ e $ P $:
R

Passo 6

Agora que temos os três lados, vamos verificar se o Teorema de Pitágoras se aplica. O teorema afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (o maior lado) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.
Vamos identificar a hipotenusa. Das distâncias calculadas:
6raiz2 approx 8.49, 2raiz26 approx 10.20, 4raiz2 approx 5.66
Assim, $ d_{QR} = 2\sqrt{26} $ é o maior lado e será nossa hipotenusa.

Passo 7

Aplicando o Teorema de Pitágoras:
dQR^2 = dPQ^2 + dRP^2
Calculando:
(2raiz26)^2 = (6raiz2)^2 + (4raiz2)^2
4 times 26 = 36 times 2 + 16 times 2
104 = 72 + 32
104 = 104

Resposta

Como a igualdade $ 104 = 104 $ se mantém, os pontos $ P $, $ Q $ e $ R $ formam um triângulo retângulo.

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