Verifique que os pontos
e
são vértices de um triângulo retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos verificar se os pontos $ P=(2,5) $, $ Q=(8,-1) $ e $ R=(-2,1) $ formam um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras, que nos ajuda a identificar ângulos retos.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a distância entre cada par de pontos para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Passo 3
Vamos calcular a distância entre $ P $ e $ Q $:
Passo 4
Agora, a distância entre $ Q $ e $ R $:
Passo 5
Por último, a distância entre $ R $ e $ P $:
Passo 6
Agora que temos os três lados, vamos verificar se o Teorema de Pitágoras se aplica. O teorema afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (o maior lado) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.
Vamos identificar a hipotenusa. Das distâncias calculadas:
Assim, $ d_{QR} = 2\sqrt{26} $ é o maior lado e será nossa hipotenusa.
Passo 7
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Calculando:
Resposta
Como a igualdade $ 104 = 104 $ se mantém, os pontos $ P $, $ Q $ e $ R $ formam um triângulo retângulo.