Determine, quando possível, o número lambda in R para que d(Q, r)=3, onde
r: lambda x=y e Q=(2, raiz3).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. Temos que encontrar o número real lambda para o qual a distância entre o ponto Q = (2, raiz3) e a reta r: lambda x = y seja igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre um ponto (x0, y0) e uma reta dada pela equação Ax + By + C = 0. A fórmula é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação da reta r: lambda x = y na forma padrão Ax + By + C = 0. Subtraindo y de ambos os lados, temos:
lambda x - y = 0
Então, identificamos os coeficientes:
  • A = lambda
  • B = -1
  • C = 0

Passo 4

Temos o ponto Q = (2, raiz3). Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |lambda cdot 2 + (-1) cdot raiz3 + 0|raizlambda^2 + (-1)^2 = |2lambda - raiz3|raizlambda^2 + 1

Passo 5

Sabemos que a distância d deve ser igual a 3. Então, montamos a equação:
|2lambda - raiz3|raizlambda^2 + 1 = 3

Passo 6

Vamos resolver essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por raizlambda^2 + 1:
|2lambda - raiz3| = 3raizlambda^2 + 1

Passo 7

Para eliminar o valor absoluto, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(2lambda - raiz3)^2 = 9(lambda^2 + 1)
Expandindo o lado esquerdo:
4lambda^2 - 4lambdaraiz3 + 3 = 9lambda^2 + 9

Passo 8

Vamos organizar todos os termos na equação:
4lambda^2 - 4lambdaraiz3 + 3 - 9lambda^2 - 9 = 0
Simplificando:
-5lambda^2 - 4lambdaraiz3 - 6 = 0
Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar:
5lambda^2 + 4lambdaraiz3 + 6 = 0

Passo 9

Agora, temos uma equação quadrática na forma alambda^2 + blambda + c = 0, onde:
  • a = 5
  • b = 4raiz3
  • c = 6
Calculamos o discriminante D:
D = b^2 - 4ac = (4raiz3)^2 - 4 cdot 5 cdot 6 = 48 - 120 = -72

Passo 10

Como o discriminante D é negativo ( -72 < 0), não existem soluções reais para lambda que satisfazem a equação.

Resposta

Não existe nenhum número real lambda que satisfaça d(Q, r) = 3 para a reta dada.

Exercícios relacionados