Verifique a posição relativa entre as retas ® e (s) e determine a interseção, se houver.: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar a posição relativa entre duas retas no espaço e descobrir se elas se cruzam, ou seja, se têm um ponto em comum. Estamos lidando com geometria analítica aqui, especificamente com posições relativas de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar das equações das retas e entender como compará-las para ver se são paralelas, coincidentes ou se se cruzam em algum ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas ® e (s) em forma paramétrica. Isso facilita identificar os vetores diretores e os pontos por onde as retas passam.
Para a reta ®:
Podemos definir um parâmetro para simplificar:
Então, a forma paramétrica da reta ® é:
Aqui, o vetor diretor de ® é e um ponto pela qual passa é .
Para a reta (s):
Definindo um parâmetro :
Ent��o, a forma paramétrica da reta (s) é:
Aqui, o vetor diretor de (s) é e um ponto pela qual passa é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das duas retas. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas.
Vetor diretor de ®:
Vetor diretor de (s):
Vamos ver se existe um escalar tal que:
Isso implicaria:
Como não é o mesmo em todas as componentes, os vetores diretores não são múltiplos um do outro. Portanto, as retas ® e (s) não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, igualamos as equações paramétricas das duas retas e resolvemos o sistema de equações resultante para encontrar os valores de e que satisfazem ambas as retas.
Temos:
Vamos resolver as equações (1) e (2):
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo na expressão de :
Vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (3):
Como a última equação não é satisfeita, significa que não existe um ponto comum às duas retas. Portanto, as retas não se cruzam.

Resposta

As retas ® e (s) não são paralelas e não se intersectam. Elas são retas skew (não coplanares e não se cruzando).

Exercícios relacionados

Dados:
e , calcule:
B)
Considere as retas
Denote por a reta que passa por que é simultaneamente ortogonal as retas e . Determine os valores de de modo que as retas e sejam concorrentes. Além disso, determine o(s) ponto(s) de interseções entre elas.
Sendo um espaço vetorial real de dimensão finita e com produto interno, considere as afirmações dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) Se é um operador auto-adjunto então .
(II) O produto de uma matriz ortogonal por um escalar é sempre uma matriz ortogonal.
(III) Se uma matriz real , que não é múltipla escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então .
Qual das opções abaixo é a correta ?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
Determine a equação vetorial da reta ® que passa por e intercepta a reta e cujo vetor diretor da reta ® é ortogonal ao vetor .