Sendo V um espaço vetorial real de dimensão finita e com produto interno, considere as afirmações dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) Se T: V V é um operador auto-adjunto então u perp T^2(v) Rightarrow T(u) perp T(v).
(II) O produto de uma matriz ortogonal por um escalar é sempre uma matriz ortogonal.
(III) Se uma n times n matriz real A, que não é múltipla escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então A^812=A.
Qual das opções abaixo é a correta ?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve espaços vetoriais, operadores auto-adjuntos, matrizes ortogonais e simétricas. Precisaremos entender conceitos como produto interno, operadores auto-adjuntos, matrizes ortogonais e simétricas, além de propriedades dessas matrizes. O objetivo é verificar quais das afirmações dadas (I, II e III) são verdadeiras e, assim, escolher a opção correta.

Passo 2

Afirmação I: Se é um operador auto-adjunto então .
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador é auto-adjunto se para todos no espaço vetorial . Agora, queremos verificar se a afirmação I é verdadeira.
Sabemos que significa que . Como é auto-adjunto, podemos reescrever isso como , o que significa que .
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: O produto de uma matriz ortogonal por um escalar é sempre uma matriz ortogonal.
Vamos relembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz (lambda A)^T (lambda A) = lambda^2 A^T A = lambda^2 I é ortogonal se , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Agora, consideremos o produto de por um escalar :
Para que seja ortogonal, precisamos que , o que implica . Portanto, isso só acontece se ou .
Logo, apenas quando o escalar é ou o produto será uma matriz ortogonal. Para outros valores de , a matriz resultante não será ortogonal.
Portanto, a afirmação II é falsa.

Passo 4

Afirmação III: Se uma A^812 = (A^2)^406 = I^406 = I matriz real , que não é múltiplo escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então .
Primeiro, vamos entender as propriedades dadas:
  1. Matriz Simétrica: .
  2. Matriz Ortogonal: .
Combinando essas duas propriedades, temos (pois ). Isso implica que é uma matriz involutiva, ou seja, seu quadrado é a identidade.
Agora, queremos calcular :
Mas a afirmação diz que . Já vimos que , então para que , a matriz deveria ser a identidade, o que contraria a condição de que não é múltiplo escalar da identidade.
No entanto, há uma sutileza aqui. Se , então . Mas a afirmação diz que , o que só seria verdade se ou . Porém, a condição especifica que não é múltiplo da identidade, então na verdade .
Portanto, a afirmação III é falsa.

Resposta

A opção correta é A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.

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