Sendo
um espaço vetorial real de dimensão finita e com produto interno, considere as afirmações dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) Se
é um operador auto-adjunto então
.
(II) O produto de uma matriz ortogonal por um escalar é sempre uma matriz ortogonal.
(III) Se uma
matriz real
, que não é múltipla escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então
.
Qual das opções abaixo é a correta ?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
(I) Se
(II) O produto de uma matriz ortogonal por um escalar é sempre uma matriz ortogonal.
(III) Se uma
Qual das opções abaixo é a correta ?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que envolve espaços vetoriais, operadores auto-adjuntos, matrizes ortogonais e simétricas. Precisaremos entender conceitos como produto interno, operadores auto-adjuntos, matrizes ortogonais e simétricas, além de propriedades dessas matrizes. O objetivo é verificar quais das afirmações dadas (I, II e III) são verdadeiras e, assim, escolher a opção correta.
Passo 2
Afirmação I: Se
é um operador auto-adjunto então
.
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador
é auto-adjunto se
para todos
no espaço vetorial
. Agora, queremos verificar se a afirmação I é verdadeira.
Sabemos que
significa que
. Como
é auto-adjunto, podemos reescrever isso como
, o que significa que
.
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: O produto de uma matriz ortogonal por um escalar é sempre uma matriz ortogonal.
Vamos relembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
é ortogonal se
, onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Agora, consideremos o produto de
por um escalar
:
Para que
seja ortogonal, precisamos que
, o que implica
. Portanto, isso só acontece se
ou
.
Logo, apenas quando o escalar é
ou
o produto será uma matriz ortogonal. Para outros valores de
, a matriz resultante não será ortogonal.
Portanto, a afirmação II é falsa.
Passo 4
Afirmação III: Se uma
matriz real
, que não é múltiplo escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então
.
Primeiro, vamos entender as propriedades dadas:
- Matriz Simétrica:
. - Matriz Ortogonal:
.
Combinando essas duas propriedades, temos
(pois
). Isso implica que
é uma matriz involutiva, ou seja, seu quadrado é a identidade.
Agora, queremos calcular
:
Mas a afirmação diz que
. Já vimos que
, então para que
, a matriz
deveria ser a identidade, o que contraria a condição de que
não é múltiplo escalar da identidade.
No entanto, há uma sutileza aqui. Se
, então
. Mas a afirmação diz que
, o que só seria verdade se
ou
. Porém, a condição especifica que
não é múltiplo da identidade, então na verdade
.
Portanto, a afirmação III é falsa.
Resposta
A opção correta é A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
Exercícios relacionados
Verifique a posição relativa entre as retas ® e (s) e determine a interseção, se houver.:
e
.
Dados:
e
, calcule:
B)
B)
Determine a equação vetorial da reta ® que passa por
e intercepta a reta
e cujo vetor diretor da reta ® é ortogonal ao vetor
.
Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular aos planos
e
.