Verifique se são convergentes: $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+3}}$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é verificar se a série infinita converge ou não. Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Série p e o Teste da Comparação. Precisamos comparar a nossa série com uma série conhecida para determinar seu comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. A série que temos é:
Podemos reescrever o denominador usando exponentes fracionários:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo geral da série conforme cresce. Para grandes valores de , o termo é aproximadamente igual a , já que o 3 se torna insignificante. Então podemos simplificar a expressão:
Isso nos leva a considerar a série comparativa:

Passo 4

Conhecemos o Teste da Série p, que diz que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1. Portanto, a série comparativa diverge.

Passo 5

Como a nossa série original tem termos maiores ou iguais aos da série comparativa que divergente , podemos aplicar o Teste da Comparação. Se a série comparativa diverge e a nossa série original tem termos maiores ou iguais, então a nossa série também diverge.

Resposta

A série não converge; ou seja, a série diverge.

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<html><head></head><body><div>Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.</div>
<div><span class=“math-block “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -0.717ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“27.617ex” height=“2.565ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -817 12206.6 1133.9”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mtable”><g data-mml-node=“mtr” transform=“translate(0,-67)”><g data-mml-node=“mtd”></g><g data-mml-node=“mtd”><g data-mml-node=“mtext”><path data-c=“A0” d=””></path><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z” transform=“translate(250,0)”></path><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 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</body></html>
Se , mostre que
<html><head></head><body><div>Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.681ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.909ex” height=“4.371ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1189.1 4821.6 1931.9”><title>{(n-4)/(n2+2)}_{n=1}{infinito}</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msubsup”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M547 -643L541 -649H528Q515 -649 503 -645Q324 -582 293 -466Q289 -449 289 -428T287 -200L286 42L284 53Q274 98 248 135T196 190T146 222L121 235Q119 239 119 250Q119 262 121 266T133 273Q262 336 284 449L286 460L287 701Q287 737 287 794Q288 949 292 963Q293 966 293 967Q325 1080 508 1148Q516 1150 527 1150H541L547 1144V1130Q547 1117 546 1115T536 1109Q480 1086 437 1046T381 950L379 940L378 699Q378 657 378 594Q377 452 374 438Q373 437 373 436Q350 348 243 282Q192 257 186 254L176 251L188 245Q211 236 234 223T287 189T340 135T373 65Q373 64 374 63Q377 49 378 -93Q378 -156 378 -198L379 -438L381 -449Q393 -504 436 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