Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty cos n+36^n

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede pra gente verificar se a série é convergente ou não. Vamos usar um pouquinho de análise de séries infinitas aqui, especialmente alguns testes de convergência que a gente precisa entender para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na estrutura da série: . A gente pode separar essa expressão em duas partes para facilitar: . Assim, a série original se divide em duas séries menores.

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente. A primeira é . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então, podemos comparar essa série com .

Passo 4

A série é uma série geométrica com razão . Como , sabemos que essa série geométrica é convergente. Pelo Teste da Comparação, já que e a série comparada é convergente, então a série também é convergente.

Passo 5

Agora, vamos olhar para a segunda série: . Podemos fatorar o 3 para fora da soma, ficando . Novamente, temos uma série geométrica com razão , que sabemos ser convergente porque .

Passo 6

Como as duas séries que compõem a nossa série original são convergentes, podemos concluir, pela propriedade de soma de séries convergentes, que a série completa também é convergente.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
{(n-4)/(n^2+2)}_{n=1}^{infinito}.
Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty 1raiz[3]n^2+3
Seja
$$
f(x)=e{-x{2}}$$
Determine:
a) Domínio
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y' + 2/t y = cos(t)/t^2, y(pi) = 0, t > 0