Verifique se são convergentes:
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede pra gente verificar se a série
é convergente ou não. Vamos usar um pouquinho de análise de séries infinitas aqui, especialmente alguns testes de convergência que a gente precisa entender para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na estrutura da série:
. A gente pode separar essa expressão em duas partes para facilitar:
. Assim, a série original se divide em duas séries menores.
Passo 3
Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente. A primeira é
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Então, podemos comparar essa série com
.
Passo 4
A série
é uma série geométrica com razão
. Como
, sabemos que essa série geométrica é convergente. Pelo Teste da Comparação, já que
e a série comparada é convergente, então a série
também é convergente.
Passo 5
Agora, vamos olhar para a segunda série:
. Podemos fatorar o 3 para fora da soma, ficando
. Novamente, temos uma série geométrica com razão
, que sabemos ser convergente porque
.
Passo 6
Como as duas séries que compõem a nossa série original são convergentes, podemos concluir, pela propriedade de soma de séries convergentes, que a série completa
também é convergente.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.
Verifique se são convergentes:
Seja
$$
f(x)=e{-x{2}}$$
Determine:
a) Domínio
Determine:
a) Domínio
Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.