Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
{(n-4)/(n^2+2)}_{n=1}^{infinito}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com a sequência {(n-4)/(n^2+2)}_{n=1}^{infinito}. Nosso objetivo é escrever os primeiros cinco termos dessa sequência e descobrir se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um certo número quando n fica muito grande) ou diverge (não se aproxima de nada). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os primeiros cinco termos da sequência. Isso significa substituir n por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão .
  • Para n = 1:
  • Para n = 2:
  • Para n = 3:
  • Para n = 4:
  • Para n = 5:
Então, os primeiros cinco termos são: -1, -1/3, , 0, .

Passo 3

Agora, vamos ver se essa sequência converge ou diverge. Para isso, a gente olha o que acontece com quando n cresce para o infinito. Essencialmente, estamos tentando encontrar o limite:

Passo 4

Para calcular esse limite, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é n, e no denominador é n^2. Quando n fica muito grande, os termos de menor grau (+ ou - constantes) têm pouca influência.
Então, podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por n²:
Agora, quando n tende ao infinito:
Então, a expressão se torna:

Resposta

Os primeiros cinco termos da sequência são -1, -1/3, , 0, . A sequência converge e o seu limite é 0.

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Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y' + 2y = t e^(-2t), y(1) = 0
Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty cos n+36^n
Seja
$$
f(x)=e{-x{2}}$$
Determine:
a) Domínio